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數學建模試題及答案
數學建模就是通過計算得到的結果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗，來建立數學模型的全過程。以下是由陽光網小編整理關于數學建模試題的內容，希望大家喜歡!
數學建模試題及答案(一)
第1題
4萬億投資與勞動力就業： 2008以來，世界性的金融危機席卷全球，給我國的經濟發展帶來很大的困難。沿海地區許多中小企業紛紛裁員，造成大量的人員失業。據有關資料估計，從2008年底，相繼有2000萬人被裁員，其中有1000萬人是民工。部分民工返鄉雖然能夠從一定程度上緩解就業壓力，但2009年的600多萬畢業大學生給我國就業市場帶來巨大壓力。但可喜的是，我國有龐大的外匯儲備，民間資本實力雄厚，居民儲蓄充足。中國還是發展中國家，許多方面的建設還處于落后水平，建設投資的潛力巨大。為保持我國經濟快速發展，特別是解決就業問題帶來希望，實行政府投資理所當然。在2009年兩代會上，我國正式通過了4萬億的投資計劃，目的就是保GDP增長，保就業，促和諧。但是有幾個問題一直困擾著我們，請你運用數學建模知識加以解決。問題如下：
1、GDP增長8%，到底能夠安排多少人就業?如果要實現充分就業，2009年的GDP到底要增長多少?
2、要實現GDP增長8%，4萬億的投資夠不夠?如果不夠，還需要投資多少?
3、不同的產業(或行業)吸納的勞動力就業能力不同，因此投資的流向會有所不同。請你決策，要實現勞動力就業最大化，4萬億的投資應該如何分配到不同的產業(或行業)里?
4、請你給出相關的政策與建議。
第2題
深洞的估算： 假如你站在洞口且身上僅帶著一只具有跑秒功能的計算器，你出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估計洞的深度，假定你撿到一塊質量是1KG的 石頭，并準確的測定出聽到回聲的時間T=5S，就下面給定情況，分析這一問題，給出相應的數學模型，并估計洞深。
1、不計空氣阻力;
2、受空氣阻力，并假定空氣阻力與石塊下落速度成正比，比例系數k1=0.05;
3、受空氣阻力，并假定空氣阻力與石塊下落速度的平方成正比，比例系數k2=0.0025;
4、在上述三種情況下，如果再考慮回聲傳回來所需要的時間。
第3題
優秀論文評選： 在某數學建模比賽的評審過程中，組委會需要在一道題目的150 篇參賽論文中選擇4 篇論文作為特等獎論文。評審小組由10 名評委組成，包括一名小組組長(出題人)，4 名專業評委(專門從事與題目相關問題研究的評委)，5 名普通評委(從事數學建模的教學和組織工作，參與過數學建模論文的評審)。組委會原先制定的評審步驟如下： step1:首先由普通評委閱讀所有150 篇論文，篩選出20 篇作為候選論文。
Step2:然后由小組內的所有評委閱讀這些候選論文，每人選擇4 篇作為推薦的論文。 Step3:接著進入討論階段，在討論階段中每個評委對自己選擇的4 篇論文給出理由，大家進行討論，每個評委對論文的認識都會受到其他評委觀點的影響。
Step4:在充分討論后，大家對這些推薦的論文進行投票，每個評委可以投出4票，獲得至少6 票的論文可以直接入選，如果入選的論文不足，對剩余的論文(從20篇候選論文中除去已經入選的論文)重復step2至step4 步的評審工作。如果三輪討論后入選的論文仍然不夠，則由評選小組組長確定剩下名額的歸屬。
如果有超過4 篇的論文獲得了至少6票，則由評選小組組長確定最終的名額歸屬。問題:
1、請建立數學模型定量地討論上面的評審規則的公平性。
2、假設小組組長、專業評委、普通評委受超過半數人的觀點影響的概率分別為0.3，0.4，0.6。組委會希望給每個評委的投票設置一定的`權重，應該如何設置才最合理，用數學模型支持你的觀點。
第4題
送貨問題： 某地區有8個公司(如圖一編號①至⑧)，某天某貨運公司要派車將各公司所需的三種原材料A,B,C從某港口(編號⑨)分別運往各個公司。路線是唯一的雙向道路(如圖1)。貨運公司現有一種載重 6噸的運輸車，派車有固定成本20元/輛，從港口出車有固定成本為10元/車次(車輛每出動一次為一車次)。每輛車平均需要用15分鐘的時間裝車，到每個公司卸車時間平均為10分鐘，運輸車平均速度為60公里/小時(不考慮塞車現象)，每日工作不超過8小時。運輸車載重運費1.8元/噸公里，運輸車空載費用0.4元/公里。一個單位的原材料A,B,C分別毛重4噸、3噸、1噸，原材料不能拆分，為了安全，大小件同車時必須小件在上，大件在下。卸貨時必須先卸小件，而且不允許卸下來的材料再裝上車，另外必須要滿足各公司當天的需求量(見表1)。 問題：
1、貨運公司派出運輸車6輛，每輛車從港口出發(不定方向)后運輸途中不允許掉頭，應如何調度(每輛車的運載方案，運輸成本)使得運費最小。
2、每輛車在運輸途中可隨時掉頭，若要使得成本最小，貨運公司怎么安排車輛數?應如何調度?
3、(1)如果有載重量為4噸、6噸、8噸三種運輸車，載重運費都是1.8元/噸公里，空載費用分別為0.2，0.4，0.7元/公里，其他費用一樣，又如何安排車輛數和調度方案?(2)當各個公司間都有或者部分有道路直接相通時，分析運輸調度的難度所在，給出你的解決問題的想法(可結合實際情況深入分析)。
圖1 唯一的運輸路線圖和里程數
表1 各公司所需要的貨物量
第5題
生產與存貯問題： 一個生產項目，在一定時期內,增大生產量可以降低成本費,但如果超過市場的需求量,就會因積壓增加存貯費而造成損失。相反,如果減少生產量,雖然可以降低存貯費,但又會增加生產的成本費,同樣會造成損失。因此,如何正確地制定生產計劃,使得在一定時期內,生產的成本費與庫存費之和最小,這是廠家最關心的優化指標，這就是生產與存貯
問題。
假設某車間每月底都要供應總裝車間一定數量的部件。但由于生產條件的變化,該車間每月生產單位部件所耗費的工時不同,每月的生產量除供本月需要外,剩余部分可存入倉庫備用。今已知半年內,各月份的需求量及生產該部件每單位數所需工時數如下所示: 月份( k)： 1 2 3 4 5 6
月需求量(bk)： 8 5 3 2 7 4
單位工時(ak)： 11 18 13 17 20 10
設庫存容量H = 9,開始時庫存量為2,期終庫存量為0。要求制定一個半年逐月生產計劃,使得既滿足需求和庫存容量的限制,又使得總耗費工時數最少。
解：S：總耗費工時。a(n):月耗工時。H(n)：月庫存量。Y(n):月生產量。B(n)：月需求量。Q：總成本費。W：總存貯費。M:總費用。
由保證需求量及庫存容量的約束條件下，我們可以得到以下的約束條件，轉換成數學模型。
H1=Y1+2-8 0<=H1<=9
H2=Y2+H1-5 0<=H2<=9
H3=Y3+H2-3 0<=H1<=9
H4=Y4+H3-2 0<=H1<=9
H5=Y5+H4-7 0<=H1<=9
H6=Y6+H5-4 H6=0
由此可以得到以下的式子：
0<=Y1+2-8<=9 6<=Y1<=15
0<=Y2+H1-5<=9 11-Y1<=Y2<=20-Y1
0<=Y3+H2-3<=9 14-(Y1+Y2)<=Y3<=23-(Y1+Y2)
0<=Y4+H3-2<=9 16-(Y1+Y2+Y3)<=Y4<=25-(Y1+Y2+Y3)
0<=Y5+H4-7<=9 23-(Y1+..Y4)<=Y5<=32-(Y1+...Y4)
Y6+H5-4=0 Y1+Y2+.....Y6-27=0
我們是從一月份開始逐月的確定生產量，又要考慮耗費工時的最小。
a1=Y(1)11/8 a2= Y(2)18/5 a3=Y(3)13/3
a4=Y(4)17/2 a5=Y(5)20/7 a6=Y(6)10/4
11/8=1.3(最小) 18/5=3.6
13/3=4.3 17/2=8.5(最大)
20/7=3 10/4=2.5(第二小)
所以：總工時
S=a1+a2+...............a6
總費用
M=Q+W
經分析要使得S取最小值，庫存量H1，H2必須取最大值，H4，H5取最小值。所以得到的逐月生產計劃是：
月份 1 2 3 4 5 6
生產量 15 5 0 0 3 4
第6題
碎石運輸方案設計：在一平原地區要進行一項道路改造項目，在A，B之間建一條長200km，寬15m，平均鋪設厚度為0.5m的直線形公路。為了鋪設這條道路，需要從S1，S2兩個采石點運碎石。1立方米碎石的成本都為60元。(S1，S2運出的碎石已滿足工程需要，不必再進
一步進行粉碎。)S1，S2與公路之間原來沒有道路可以利用，需鋪設臨時道路。臨時道路寬為4m，平均鋪設厚度為0.1m。而在A，B之間有原來的道路可以利用。假設運輸1立方米碎石1km運費為20元。此地區有一條河，故也可以利用水路運輸：順流時，平均運輸1立方米碎石1km運費為6元;逆流時，平均運輸1立方米碎石1km運費為10元。如果要利用水路，還需要在裝卸處建臨時碼頭。建一個臨時碼頭需要用10萬元。
建立一直角坐標系，以確定各地點之間的相對位置：
A(0,100)，B(200,100)，s1(20,120)，s2(180,157)。
河與AB的交點為m4(50,100) (m4處原來有橋可以利用)。河流的流向為m1→m7，m4的上游近似為一拋物線，其上另外幾點為m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108);m4的下游也近似為一拋物線，其上另外幾點為m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。 橋的造價很高，故不宜為運輸石料而造臨時橋。
此地區沒有其它可以借用的道路。
為了使總費用最少，如何鋪設臨時道路(要具體路線圖);是否需要建臨時碼頭，都在何處建;從s1，s2所取的碎石量各是多少;指出你的方案的總費用。
第7題
人民幣的匯率問題： 人民幣匯率對經濟的影響近年來成為人們議論的熱點，有不少經濟學家在探討人民幣匯率對我國及世界經濟發展的影響。一些學者希望提高人民幣對一些主要貨幣的匯率，另一些學者則希望穩定人民幣的匯率。試建立數學模型解決下列問題：
1、以英鎊匯率或日元匯率為例研究其變化對該國經濟的影響;
2、人民幣匯率與主要貨幣(如英鎊、日元、歐元等)的匯率關系;
3、人民幣匯率變化對我國及世界經濟的影響。
數學建模試題及答案(二)
第1題
居民區供水問題：某居民區的民用自來水是由圓柱形水塔提供,水塔高12.2米,直徑17.4米.水塔是由水泵根據水塔內水位高低自動加水,一般每天水泵工作兩次.現在需要了解居民區用水規律與水泵的工作功率.按照設計,當水塔的水位降至最低水位,約8.2米,水泵自動啟動加水;當水位升高到一個最高水位, 約10.8米,水泵停止工作.
可以考慮采用用水率(單位時間的用水量)來反映用水規律,并通過間隔一段時間測量水塔里的水位來估算用水率,表1是某一天的測量記錄數據,測量了28個時刻,但是由于其中有3個時刻遇到水泵正在向水塔供水,而無水位記錄(表1中用//表示).
試建立合適的數學模型,推算任意時刻的用水率,一天的總用水量和水泵工作功率.
第2題
導彈攻擊：某軍一導彈基地發現正北方向120千米處海上有一艘敵艇以90千米/小時的速度向正東方向行駛.該基地立即發射導彈跟蹤追擊敵艇,導彈速度為450千米/小時,自動導航系統使導彈在任一時刻都能對準敵艇。 試問導彈在何時何地擊中敵艇?
如果當基地發射導彈的同時,敵艇立即儀器發現.假定敵艇即刻以135千米/小時的速度向與導彈方向垂直方向逃逸,問導彈何時何地擊中敵艇敵艇與導彈方向成何夾角逃逸最好?結論中有何啟示解：當t =0 時,導彈位于原點O,敵艇位于(0,120)點; 當時刻t ,導彈位于L(x(t),y(t))，敵艇位于(90t,120)點。 導彈速度可由水平分速度與垂直分速度合成： (dx/dt)^2+(dy/dt)^2=450^2______【1】 導彈方向指向敵艇,導彈軌跡的導數就是其切線，
所以 dy/dx=(120-y)/(90t-x)__________【2】 而dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) 解以上微分方程組，初始條件為：x(0)=0,y(0)=0 數值解法，用差分方程法。 dx=x(k+1)-x(k);dy=y(k+1)-y(k);dt=t(k+1)-t(k)=h
第3題
產銷問題：某企業主要生產一種手工產品，在現有的營銷策略下，年初對上半年6個月的產品需求預測如表1所示。
1月初工人數為10人，工人每月工作21天，每天工作8小時，按規定，工人每個月加班時間不得超過10個小時。1月初的庫存量為200臺。產品的銷售價格為240元/件。該產品的銷售特點是，如果當月的需求不能得到滿足，顧客愿意等待該需求在后續的某個月內得到滿足，但公司需要對產品的價格進行打折，可以用缺貨損失來表示。6月末的庫存為0(不允許缺貨)。各種成本費用如表2所示。
表2. 產品各項成本費用
(1)若你是公司決策人員，請建立數學模型并制定出一個成本最低、利潤最大的最優產銷方案;
(2)公司銷售部門預測：在計劃期內的某個月進行降價促銷，當產品價格下降為220元/件時，則接下來的兩個月中6%的需求會提前到促銷月發生。試就一月份(淡季)促銷和四月份(旺季)促銷兩種方案以及不促銷最優方案(1)進行對比分析，進而選取最優的`產銷規劃方案。
解：問題一：㈠目標函數及其子函數的建立⑴目標函數為：
Max=7250×240-m 即最大利潤減去最小成本，由于每月的預計值已經固定不變，并且題目要求六月份
的缺貨量為零，故6個月銷售的產品個數總和是固定的7250件，售價不變，其銷售總金額也不變，所以該問題轉化為求解成本最小的問題。 ⑵又有m=f0+r0
6個月非人力成本等于各個月非人力成本之和 6個月人力成本等于各個月人力成本之和
⑶根據變量之間的關系分析人力成本故可列出算式：人力成本=正常工人工資+當月招聘人員的培訓費+當月解雇人員的遣散費+加班費
第4題
訂購問題：假如你負責一個中等面粉加工廠的原料采購。該工廠每星期面粉的消耗量為80包，每包面粉的價格是250元。在每次采購中發生的運輸費用為500元，該費用與采購數量的大小無關，每次采購需要花費1小時的時間，工廠要為這1小時支付80元。訂購的面粉
可以即時送達。工廠財務成本的利率以每年15%計算，保存每包面粉的庫存成本為每星期1.10元。
(1)目前的方案是每次采購夠用兩個星期的面粉，計算這種方案下的平均成本。 (2)試建立數學模型計算最優訂貨量及相應的平均成本。
(3)若面粉供應商為推出促銷價格：當面粉的一次購買量大于500包時，為220元/包。建立數學模型計算最優訂貨量及相應的平均成本。 解
所以庫存費：
符號說明補充：
第5題
討價還價中的數學：在當前市場經濟條件下，在商店，尤其是私營個體商店中的商品，所標價格a與其實際價值b之間，存在著相當大的差距。對購物的消費者來說，從希望這個差距越小越好，即希望比值λ接近于1，而商家則希望 λ>1。
這樣，就存在兩個問題：第一，商家應如何根據商品的實際價值(或保本價)b來確定其價格a才較為合理?第二，購物者根據商品定價，應如何與商家"討價還價"?
第一個問題，國家關于零售商品定價有相關規定，但在個體商家實際定價中，常用"黃金數"方法，即按實際價b定出的價格a，使b:a≈ 0.618。雖然商品價值b位于商品價格a的黃金分割點上，考慮到消費者討價還價，應該說，這樣定價還是較為合理的。
對消費者來說，如何"討價還價"才算合理呢?一種常見的方法是"對半還價法"：消費者第一次減去定價的一半，商家第一次討價則加上二者差價的一半;消費者第二次還價要減去二者差價的一半;如此等等。直至達到雙方都能接受的價格為止。
有人以為，這樣討價還價的結果其理想的最終價格將是原定價的黃金分割點。是這樣的嗎?試進行定量分析，并給出結果。
第6題
鉛球運動員成績：眾所周知，鉛球的投擲運動是運動員單手托住7.264kg(16磅)重的鉛球在直徑為2.135m的投擲圓內將鉛球擲出并且使鉛球落入開角為45o的有效扇形區域內。以鉛球的落地點與投擲圓間的距離度量鉛球投擲的遠度，并以鉛球投擲遠度的大小評定運動員的成績。
在鉛球的訓練和比賽中，鉛球投擲距離的遠與近是人們最關心的問題。而對于教練和運動員最為關心的問題是如何使鉛球擲得最遠。影響鉛球投擲遠度的因素有哪些?建立一個數學模型，將預測的投擲距離表示為初始速度和出手角度的函數。最優的出手角度是什么?如果在采用你所建議的出手角度時，該運動員不能使初始速度達到最大，那么他應該更關心出手角度還是出手速度?應該怎樣折中?
哪些是影響遠度的主要因素?在平時訓練中，應該更注意哪些方面的訓練?試通過組建數學模型對上述問題進行分析，給教練和運動員以理論指導。
參考數據資料如下：
第7題
寵物狗銷售： 背景：一家寵物店賣小狗。這家店每天需要在每只小狗身上花費10元錢，因此寵物店不想在店里存儲太多的小狗。通過調查研究，在給定的天數x內，所賣出的小狗的數量服從泊松分布(λ =0.1)。
寵物店每十天平均能賣出一只小狗，而每賣出一只小狗的利潤是20元。當一個顧客來到寵物店里時，如果店里沒有寵物賣，那么該顧客就會到別的寵物店去。如果寵物店預定小狗的話,則所預定的小狗需要到6天后才能到店里。現在該寵物店正在考慮一種預定小狗的最好策略。
策略A：每賣出一只小狗，寵物店就新預定一只。這個策略意味著每次店里只有一個小狗，因此寵物店就不會花費太多在小狗身上。
策略B：寵物店每隔10天就預定一只新的小狗，該狗6天后到。使用這個策略后,如果顧客連續幾個星期沒有光顧寵物店，則寵物店必須花大量的錢在小狗上。
問題：
1、編寫程序,來模擬這兩種策略，并比較哪一種策略好。
2、請提出第三種更好的策略，寫出數學證明,并用軟件模擬。
第8題
農作物加工與存放：某縣是我國A、B兩種農作物的主要生產基地，近15年來農作物總產量如附表，目前全縣只有一個容量為1200噸的糧庫，需要建造一新的糧庫，為了提高農民的收入，同時還要建造一個農作物加工工廠。解答下面問題：
(1)該縣的農作物加工工廠計劃利用A、B兩種農作物混合加工成甲、乙兩種農產品，現在市場上這兩種農產品的售價分別為4800元和5600元，為了保證產品質量，甲產品中A農作物的含量不能低于50%，乙產品中A農作物的含量不能低于60%。糧庫每年可以提供的A農作物不超過500噸，B農作物不超過1000噸，不過A農作物還可以從臨縣約1500噸余糧中購買，如果購買量不超過500噸，單價為 10000元/噸，如果超過500噸不超過1000噸，超過500噸的部分單價為8000元/噸，購買量超過1000噸時超過部分單價為6000元/噸，該加工工廠應如何安排生產才能獲的最大利潤。
(2)該縣應當建造容量為多少的倉庫，才能適應將來農作物總產量不斷增長的需求。請寫出五年的工作計劃!附表：(噸/年)
第9題
加工業生產的穩態模擬問題：某工廠共有50機床加工原料，另配有4臺備用機床，當正在加工的機床發生故障時，立即將備用機床投入生產過程，而發生故障的機床則移至由三名修理工組成的機修組進行修理，假定一臺機床只由一名工人操作使用，維修時也只由一名修理工修理。經過實際調查，機床發生故障的間隔時間服從均值等于157小時的指數分布，一名修理工修理一臺機床的時間服從[4,10]小時之間的均勻分布。進入修理狀態的機床修理完成后成為備用機床待用狀態。此系統的工作流程如圖所示。
50名工人 3名修理工
為符合加工的實際情況，我們還制定兩條規則：
1.某機床發生故障直接交給修理工修理時，總是送給休息時間最久的修理工。
2.某機床修理完成，若直接交給工人加工時，總是送給休息時間最久的工人。
管理部門要求了解機床用于生產的利用率、處于備用狀態的機床數、等待修理的機床數以及機床和修理工忙期的平均值等，以便對此維修策略進行評價。
對于這個穩態模擬問題，我們可考慮該系統運行三年(共156周)的情況，并假設每周工作5天，每天工作8小時。
請建立數學模型以分析整個生產系統的特性(最少有多少臺機器同時在運行;最多有多少臺機器在等候修理;平均每小時有多少工人處于工作狀態;平均每小時有多少修理工處于工作狀態;平均每小時有多少臺機器在等待修理;等等。);進一步研究生產工人人數和修理工人人數變化對生產系統運行情況的影響，給出最優的人事安排方案。
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