大學《高等數學》試題及答案

高等數學試題及答案

一、填空題

1、設曲線過（０，１），且其上任意點（Ｘ，Ｙ）的切線斜率為２Ｘ，則該曲線的方程是_ｙ＝ｘ2＋１__。

　
２．函數ｙ＝ｘ＋ｅ^x  上點（ ０，１ ）處的切線方程是______２ｘ－ｙ＋１＝０________。

                                                    ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）
３．設ｆ（X）在Xo可導且ｆ'（Xo）＝Ａ，則ｌｉｍ ───────────────  ＝__５Ａ_。
   　                                        h→o                  h

　　５．∫─────ｄｘ＝_____________。
   　      １－ｘ⁴
                       １
　　６．ｌｉｍ Ｘｓｉｎ───＝___________。
   　    x→∞           Ｘ

　　７．設ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），則ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

                         _______
   　            R       √R²－ｘ²
　　８．累次積分∫ ｄｘ  ∫       ｆ（Ｘ² ＋ Ｙ²  ）ｄｙ 化為極坐標下的累次積分為_______。
   　            0        0

   　            ｄ³ｙ     ３    ｄ²ｙ
　　９．微分方程─── ＋ ──（─── ）²  的階數為____________。
   　            ｄｘ³     ｘ    ｄｘ²

   　            ∞                  ∞
　　１０．設級數 ∑  ａ_n發散，則級數 ∑ ａ_n  _______________。
   　            n=1                n=1000

二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題干的○內，１～１０每小題１分，１１～２０每小題２分，共３０分）

  （一）每小題１分，共１０分

                         １
    １．設函數ｆ（ｘ）＝──  ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，則ｆ［ｇ（ｘ）］＝ ( ③)
                         ｘ

              １                 １                １
      ①１－ ──        ②１＋ ──         ③ ────        ④ｘ
              ｘ                 ｘ             １－ ｘ

                           １
    ２．ｘ→0 時，ｘｓｉｎ──＋１ 是  ( ③)
                           ｘ

      ①無窮大量         ②無窮小量          ③有界變量         ④無界變量

    ３．下列說法正確的是  ( ④)

      ①若ｆ（ X ）在 X＝Xo連續，  則ｆ（ X ）在X＝Xo可導
      ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可導，則ｆ（ X ）在X＝Xo不連續
      ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，則ｆ（ X ）在X＝Xo極限不存在
      ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不連續，則ｆ（ X ）在X＝Xo不可導

    ４．若在區間（ａ，ｂ）內恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，則在（ａ，ｂ）內曲線弧ｙ＝ｆ（ｘ）為( ④ )

      ①上升的凸弧        ②下降的凸弧      ③上升的凹弧      ④下降的凹弧

　   ５．設Ｆ'(x)  ＝  Ｇ'(x)，則 ( ②)

      ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 為常數
      ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 為常數
      ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０
           ｄ                     ｄ
      ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ  ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ
         ｄｘ                   ｄｘ

      　    1
   　  ６．∫ │ｘ│ｄｘ  ＝ ( ② )
      　   -1

       ① ０       ② １       ③ ２       ④ ３

    　 ７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空間表示的圖形是 ( ② )

       ①平行于ｘｏｙ面的平面
       ②平行于ｏｚ軸的平面
       ③過ｏｚ軸的平面
       ④直線

       　                                          ｘ
    　 ８．設ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ³ ＋ ｙ³ ＋ ｘ² ｙｔｇ── ，則ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝  ( ⑤)
      　                                           ｙ

                                                                        １
       ①ｔｆ（ｘ，ｙ）    ②ｔ²ｆ（ｘ，ｙ）    ③ｔ³ｆ（ｘ，ｙ）  ④  ──ｆ（ｘ，ｙ）
                                                                        ｔ²

     　                           ａ_n＋１               ∞
    　 ９．設ａ_n≥０，且ｌｉｍ  ───── ＝ｐ，則級數 ∑ａ_n   ( ④)
   　                    n→∞      ａ                  n=1

       ①在ｐ〉１時收斂，ｐ〈１時發散
       ②在ｐ≥１時收斂，ｐ〈１時發散
       ③在ｐ≤１時收斂，ｐ〉１時發散
       ④在ｐ〈１時收斂，ｐ〉１時發散

   　 １０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ²ｙ 是   (③ )

       ①一階線性非齊次微分方程
       ②齊次微分方程
       ③可分離變量的微分方程
       ④二階微分方程

　　 （二）每小題２分，共２０分

   　 １１．下列函數中為偶函數的是   ( ④)

       ①ｙ＝ｅ^x          ②ｙ＝ｘ³＋１          ③ｙ＝ｘ³ｃｏｓｘ     ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│

   　 １２．設ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可導，ａ〈ｘ₁〈ｘ₂〈ｂ，則至少有一點ζ∈（ａ，ｂ）使 ( ④)

       ①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
       ②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ₂－ｘ₁）
       ③ｆ（ｘ₂）－ｆ（ｘ₁）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
       ④ｆ（ｘ₂）－ｆ（ｘ₁）＝ｆ'（ζ）（ｘ₂－ｘ₁）

  　  １３．設ｆ（X）在 X＝Xo 的左右導數存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可導的    ( ⑤ )

       ①充分必要的條件
       ②必要非充分的條件
       ③必要且充分的條件
       ④既非必要又非充分的條件

    　                              ｄ
    　１４．設２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］² ，則ｆ（０）＝１，則ｆ（ｘ）＝    ( ③)
    　                            ｄｘ

       ①ｃｏｓｘ          ②２－ｃｏｓｘ          ③１＋ｓｉｎｘ        ④１－ｓｉｎｘ

    　１５．過點（１，２）且切線斜率為 ４ｘ³ 的曲線方程為ｙ＝  ( ③)

    　   ①ｘ⁴               ②ｘ⁴＋ｃ               ③ｘ⁴＋１             ④ｘ⁴－１

                   １    x
    　１６．ｌｉｍ ─── ∫ ３ｔｇｔ²ｄｔ＝  (② )
    　       x→0    ｘ³   0

                                                       １
    　   ① ０               ② １                   ③ ──               ④ ∞
                                                       ３

                               ｘｙ
    　１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ─────  ＝ ( ① )
    　       x→0              ｘ²＋ｙ²
    　       y→0
　
    　    ① ０              ②  １                  ③  ∞                ④  ｓｉｎ１

     １８．對微分方程 ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降階的方法是   (③ )

        ① 設ｙ'＝ｐ，則 ｙ"＝ｐ'
                                ｄｐ
        ② 設ｙ'＝ｐ，則 ｙ"＝ ───      
                                ｄｙ
                                 ｄｐ
        ③ 設ｙ'＝ｐ，則 ｙ"＝ｐ───
                                 ｄｙ
                               １    ｄｐ
        ④ 設ｙ'＝ｐ，則 ｙ"＝──  ───
                               ｐ    ｄｙ

                     ∞                                ∞
      １９．設冪級數 ∑ ａ_nｘⁿ在ｘ_o（ｘ_o≠０）收斂， 則 ∑ ａ_nｘⁿ 在│ｘ│〈│ｘo│ ( ①)
                    n=o                               n=o

        ①絕對收斂          ②條件收斂             ③發散            ④收斂性與ａ_n有關

                                                  ｓｉｎｘ
      ２０．設Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ²所圍成，則∫∫ ─────ｄσ＝   ( ②)
                                              D       ｘ

             1       1  ｓｉｎｘ
         ① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ
             0       x     ｘ
                     __
             1     √y   ｓｉｎｘ
         ② ∫ ｄｙ ∫  ─────ｄｘ
             0       y      ｘ
                     __
             1     √x   ｓｉｎｘ
         ③ ∫ ｄｘ ∫  ─────ｄｙ
             0       x      ｘ
                     __
             1     √x   ｓｉｎｘ
         ④ ∫ ｄｙ ∫  ─────ｄｘ
             0       x      ｘ

　　三、計算題（每小題５分，共４５分）

                      ___________
                    ／ ｘ－１
      １．設 ｙ＝ ／ ──────      求  ｙ'  。
                √   ｘ（ｘ＋３）

                     ｓｉｎ（９ｘ²－１６）
      ２．求 ｌｉｍ  ───────────  。
             x→4/3         ３ｘ－４

                      ｄｘ
      ３．計算 ∫ ───────  。
                  （１＋ｅ^x ）²

          　　  　t                                   1                                 ｄｙ
　　　４．設ｘ＝ ∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求─── 
          　　　  0                                   t                                 ｄｘ

      ５．求過點 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直線方程。

                        ___
      ６．設 ｕ＝ｅ^x＋√ｙ ＋ｓｉｎｚ，求  ｄｕ  。

                x  asinθ
      ７．計算 ∫  ∫    ｒｓｉｎθｄｒｄθ  。
                0   0
                               ｙ＋１
      ８．求微分方程 ｄｙ＝（ ──── ）²ｄｘ 通解  。
                               ｘ＋１

                                ３
      ９．將 ｆ（ｘ）＝ ───────── 展成的冪級數  。
                       （１－ｘ）（２＋ｘ）

參考答案：

四、應用和證明題（共１５分）