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工程數學試題及答案
工程數學是為了讓工科學生用更加方便的理論工具來處理工程常見問題。以下是由陽光網小編整理關于工程數學試題的內容，希望大家喜歡!
工程數學試題
一、單項選擇題 (每小題3分，共15分)
1.某人打靶3發，事件Ai 表示“擊中i發”，i=0,1,2,3. 那么事件 A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部擊中. B. 至少有一發擊中. C. 必然擊中 D. 擊中3發 2.對于任意兩個隨機變量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，則有( )。 A. X和Y獨立。 B. X和Y不獨立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)
3.下列各函數中可以作為某個隨機變量的概率密度函數的是( )。
0.5|x|22(1|x|)|x|1 A. f(x)。 B. f(x)
0其它0其它
(x)12
e2
C. f(x)2
0
2
x0
exx0
D. f(x)，
0其它x0
4.設隨機變量X～N(,42), Y～N(,52), P1P{X4}, P2P{Y5}, 則有( )
A. 對于任意的, P1=P2 B. 對于任意的, P1 < P2 C. 只對個別的，才有P1=P2 D. 對于任意的, P1 > P2 5.設X為隨機變量，其方差存在，c為任意非零常數，則下列等式中正 確的是( )
A.D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)
二、填空題 (每空3分，共15分)
1. 設3階矩陣A的特征值為-1，1，2，它的伴隨矩陣記為A*， 則|A*+3A –2E|= 。
011200
2.設A= 101~0x0，則x。
110001
3.設有3個元件并聯，已知每個元件正常工作的'概率為P，則該系統正 常工作的概率為 。
2x0xA
4.設隨機變量X的概率密度函數為f(x)，則概率
0其它
1
P(X)。
2
5.設二維連續型隨機變量(X,Y)的聯合概率密度函數為
ke(3x4y)當x0,y0
f(x,y)，則系數k 。
其它0
三、計算題 (每小題10分，共50分)
1.求函數f(t)et的傅氏變換 (這里0)，并由此證明：
costt
e2220
2.發報臺分別以概率0.6和0.4發出信號“1”和“0”。由于通訊系統受到干擾，當發出信號“1”時，收報臺未必收到信號“1”，而是分別以概率0.8和0.2收到信號“1”和“0”;同時，當發出信號“0”時，收報臺分別以概率0.9和0.1收到信號“0”和“1”。求 (1)收報臺收到信號“1”的概率;
(2)當收報臺收到信號“1”時，發報臺確是發出信號“1”的概率。
ce(2x4y)x0,y0
3.設二維隨機變量(X,Y)的聯合概率函數是f(x,y)
其它0
求：(1)常數c;(2)概率P(X≥Y );(3)X與Y相互獨立嗎請說出理由。
4.將n個球隨機的放入N個盒子中去，設每個球放入各個盒子是等可能的，求有球盒子數X的數學期望。
5.設一口袋中依此標有1，2，2，2，3，3數字的六個球。從中任取一球，記隨機變量X為取得的球上標有的數字，求 (1)X的概率分布律和分布函數。(2)EX
四、證明題 (10分)
設a=(a1,a2,,an)T，a1≠0,其長度為║a║，又A=aaT, (1)證明A2=║a║2A;
(2)證明a是A的一個特征向量，而0是A的n-1重特征值; (3)A能相似于對角陣Λ嗎若能,寫出對角陣Λ.
五、應用題 (10分)
設在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量X是隨機變量,它在[2000,4000]( 單位：噸 )上服從均勻分布，又設每售出這種商品一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而囤積在倉庫，則每噸需保養費1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最大。
工程數學試題答案
一、單項選擇題 (每小題3分，共15分)
1.B 2.C 3.D 4.A 5.A
二、填空題 (每空3分，共15分)
1. 9 2. 1 3 1–(1–P)3 4. 3/4 5. 12
三、計算題 (每小題10分，共50分) 1.解答：函數f(t)的付氏變換為：
|t|jt
(j)t
F(w)=[e|t|]eedtedte(j)tdt=11222 jj
由付氏積分公式有
1f(t)=[F(w)]=21jtF()ed1=22(costjsint)d 2222costd221==2cost220
所以
costte2220
2.解答: 設 A1=“發出信號1”，A0=“發出信號0”，A=“收到信號1”
(1)由全概率公式 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 (2)由貝葉斯公式 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) =0.8x0.6/0.52=12/13 3.解答:(1)由聯合概率密度的性質有
dxf(x,y)dy1
即 dxce(2x4y)dy1
從而 c=8
x
(2)P(XY)
xy
f(x,y)dxdy
(2x4y)
dydx8e0
2
3
(3) 當x>0時， fX(x)
f(x,y)dy8e(2x4y)dy2e2x
當x<=0時, fX(x)0
4e4yy0
同理有 fY(y)
其它0因 f(x,y)fX(x)fY(y)
x,y
故X與Y相互獨立
1
4.解答：設 Xi
0
N
第i個盒子有球
i =1,2,,N
否則
則 XXi
i1
(N1)n
因 P(Xi0) n
N
(N1)n
P(Xi1)1P(Xi0)1 n
N
(N1)n
因而 EXi0P(Xi0)1P(Xi1)1
Nn
所以 EXEXiN(1(1
i1
N
1n
)) N
5.解答：
(1)隨機變量X的取值為1，2，3。 132依題意有：P{X1};P{X2};P(X3) 666
X的分布函數F(x)P{Xx}
由條件知：當x1時，F(x)0;
1P(X1); 當1x2時，F(x)6
2P(X1)P(X2); 當2x3時，F(x)3
1; 當x3時，F(x)
(2)EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6
四、證明題 (10分)
(1) A2=aaT·aaT=aTa ·aaT =║a║2A
(2)因 Aa= aaT ·a=aTa·a= ║a║2a
故a是A的一個特征向量。
又A對稱，故A必相似于對角陣
設A∽ diag(λ1,λ2,,λn)=B, 其中λ1,λ2,,λn是A的特征值
因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1
從而λ1,λ2,,λn中必有n-1個為0, 即0是A的'n-1重特征值
(3) A對稱，故A必相似于對角陣Λ，
五、應用題 (10分)
解答:設y為預備出口的該商品的數量，這個數量可只介于2000與4000
之間，用Z表示國家的收益(萬元),
3yXy則有 Zg(X) 3X(yX)Xy
因 X服從R(2000,4000), 故有
1/20002000x4000 fX(x)其它0
所以
3x(yx)EZg(x)fX(x)dxdx20002000y4000y3y 2000
=–( y2 –7000y + 4106 ) /1000 求極值得 y=3500 (噸)
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