洛必達法則在復變函數極限中的應用論文
本文將高數中的洛必達法則推廣到復變函數中來，給出復變函數中與高數中洛必達法則類同的法則。并且利用給出的洛必達法則更方便的求解復變函數的某些類型極限以及判定解析函數孤立奇點的類型。 關鍵詞：洛必達法則，孤立奇點的類型 一、給出法則 復變函數中的一些概念和結論是實函數中相應概念的推廣，復變函數中關于復函數的極限，連續，可導，關于復級數，復積分等概念和一些重要結論都是高數中關于實函數的相應概念和結論從實數域到復數域的推廣。眾所周知，對實變函數中“未定式”的分析可以利用洛必達法則，那么對復變函數中的“未定式”是否有相應的洛必達法則？答案是肯定的。
一元實函數的極限或只要求沿軸趨于或，而復變函數的極限或要求在復平面上按任意方式趨于 或 ，這是實函數極限與復變函數極限的本質區別。但在復變函數中，在區域上可導，也就是在上解析，而解析函數有很好的性質，這對于研究復變函數“未定式”有很大的方便。在此，我們將復變函數中的洛必達法則歸結如下：
1。 型
（1）定理1：設復變函數在 的'去心鄰域： 內定義可導（即解析），且極限存在，則。
（2）定理2：設復變函數在無窮遠點的去心鄰域： 內可導（即解析），且，且極限存在，則 。
2。其它不定式
形如型的未定式，可以通過將它們化為或型來計算。
二。法則應用
1。高數中的洛必達法則，在求函數極限時發揮重要作用。
而在復變函數中洛必達法則在復函數極限的計算中發揮重要作用，使一些不太容易解決的問題在應用了這個法則之后變得容易解決。
例1 求
解：原式=
例2 求
解：原式=
例3 求
解：原式=
（型）=
（型）=
例4 求
解：原式=
注：洛必達法則僅是一個充分性條件的確定商式極限工具。當條件滿足時，所求極限存在（或為），但當條件不滿足時，不應當使用這一工具，但這并不等價于極限不存在，所以在使用洛必達法則時，必須每步檢查一下是否為型或型的未定式，以避免解題錯誤。
2。 復變函數的洛必達法則在判定解解析函數孤立奇點類型方面的應用
一般復變函數論的教材均指出：是的可去奇點、極點和本性奇點的充要條件分別是：有限復常數， 和不存在。所以，若已知是的孤立奇點，則此孤立奇點的類型與有關。（無窮遠點亦可類似討論）因此，我們可以在求時應用此法則，使問題簡化。
例1 判定函數孤立奇點的類型
解：是的孤立奇點，應用復變函數中的洛必達法則有：
因為是有限復常數，根據可去奇點的充分必要條件知：是的可去奇點。
例2 判定函數的孤立奇點的類型
解：為函數的孤立奇點。應用復變函數中的洛必達法則有：
所以根據極點的充分必要條件知：為的極點。
例3 判定函數的孤立奇點的類型
解：為的孤立奇點。
因為
而 不存在
所以為的可去奇點，為的本性奇點。
注：在運用復變函數的洛必達法則進行孤立奇點類型判定時，可遵循以下四個步驟：
（1）找出給定解析函數的孤立奇點。
（2）對各孤立奇點求極限，考察是否為型或型。
（3）若是，可套用洛必達法則求極限，若是其他類型，可變形為型或型。
（4）根據所求極限的結果判定孤立奇點的類型。
參考文獻
[1]華東師范大學數學分析高等教育出版社2001年6月
[2]鐘玉泉復變函數論高等教育出版社2002年5月
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[4]陸慶樂復變函數學習方法指導書高等教育出版社1982年10月
[5]謝力之劉中興復變函數奇點電子工業出版社1988年5月
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