偏微分方程試題及答案

　　偏微分方程是一門專業性比較強的課程，要學好這門課程，同學們還是要用心去學才能學好偏微分方程。下面是陽光網小編給大家整理的偏微分方程試題及答案，歡迎大家學習參考。

　　偏微分方程試題及答案

　　一、填空題(每小題3 分，共15 分)

　　1.對常系數方程作未知函數的變換 可以將所有一階微商消失.

　　2.設 是光滑凸函數， ( , ) u x t 是熱傳導放程 0 t u u ? ? ? 的解，則 ( ) u ? 是熱傳導方程 的 (下解;上解;解).

　　3.上半平面的 Green 函數 G(x,y)為 ，其中 1 2 ( , ) y y y為上半平面中某固定點.

　　4.設函數 u 在以曲面? 為邊界的區域? 內調和，在? ? 上有連續的一階偏導數，則其中n 是? 的外法方向.

　　5.熱傳導方程 2 ( ) 0 t xx yy u a u u 的特征曲面為 . 得分 第 2 頁 共5 頁

　　二、計算題(每小題10 分，共40 分)

　　1.求解初值問題 其中， , b c R ? 都是常數.

　　2.試用延拓法求解半有界直線上的熱傳導方程的邊值問題：得分 第 3 頁 共5 頁

　　3.試求解 解的一般形式. 第 4 頁 共5 頁

　　三、判斷分析題(10 分) 試判斷下面命題是否成立，并說明原因. 在證明Hopf 引理的`過程中，我們能夠作出一個輔助函數 ( ) v x 滿足 (a)在球面 ( ) R B y ? 上 0; v ? (b)v 沿球 ( ) R B y 的半徑方向的方向導數 v ? ? ? <0; (c)在整個球 ( ) R B y 內下調和. 四、分析計算題(15 分) 試判斷下列方程的類型，并根據標準型求出此方程的通解. 得分 得分 第 5 頁 共5 頁 五、證明題(下面兩道題請任選一題)(20 分) 1.設G 是 2 R 中有界區域，試利用證明熱傳導方程解的最大值原理的方法證明： 滿足方程 0 xx yy u u ? ? 的函數u(x,y) 在G 上的最大值不會超過它在邊界 G ? 上的最大值.

　　2.試用能量法(即用格林第一公式法)證明n 維Laplace 方程的第三邊值問題 1 2 n u(x) 0, x=(x , x , , x ) , 0 u u f n

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