實變函數(shù)論_文章
實變函數(shù)論的產(chǎn)生
微積分產(chǎn)生于十七世紀，到了十八世紀末十九世紀初，微積分學已經(jīng)基本上成熟了。數(shù)學家廣泛地研究并建立起它的許多分支，是它很快就形成了數(shù)學中的一大部門，也就是數(shù)學分析。
也正是在那個時候，數(shù)學家逐漸發(fā)現(xiàn)分析基礎本身還存在著學多問題。比如，什么是函數(shù)這個看上去簡單而且十分重要的問題，數(shù)學界并沒有形成一致的見解。以至長期爭論者問題的這樣和那樣的解答，這樣和那樣的數(shù)學結果，弄不清究竟誰是正確的。又如，對于什么是連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是什么，數(shù)學界也沒有足夠清晰的理解。
十九世紀初，曾經(jīng)有人試圖證明任何連續(xù)函數(shù)除個別點外總是可微的。后來，德國數(shù)學家維爾斯特拉斯提出了一個由級數(shù)定義的函數(shù)，這個函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，但是維爾斯特拉斯證明了這個函數(shù)在任何點上都沒有導數(shù)。這個證明使許多數(shù)學家大為吃驚。
由于發(fā)現(xiàn)了某些函數(shù)的奇特性質(zhì)，數(shù)學家對函數(shù)的研究更加深入了。人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了有些函數(shù)是連續(xù)的但處處不可微，有的函數(shù)的有限導數(shù)并不黎曼可積；還發(fā)現(xiàn)了連續(xù)但是不分段單調(diào)的函數(shù)等等。這些都促使數(shù)學家考慮，我們要處理的函數(shù)，僅僅依靠直觀觀察和猜測是不行的，必須深入研究各種函數(shù)的性質(zhì)。比如，連續(xù)函數(shù)必定可積，但是具有什么性質(zhì)的不連續(xù)函數(shù)也可積呢？如果改變積分的定義，可積分條件又是什么樣的？連續(xù)函數(shù)不一定可導，那么可導的充分必要條件由是什么樣的？……
上面這些函數(shù)性質(zhì)問題的研究，逐漸產(chǎn)生了新的理論，并形成了一門新的學科，這就是實變函數(shù)。
實變函數(shù)的內(nèi)容
以實數(shù)作為自變量的函數(shù)就做實變函數(shù)，以實變函數(shù)作為研究對象的數(shù)學分支就叫做實變函數(shù)論。它是微積分學的進一步發(fā)展，它的基礎是點集論。什么是點集論呢？點集論是專門研究點所成的集合的性質(zhì)的理論。也可以說實變函數(shù)論是在點集論的基礎上研究分析數(shù)學中的一些最基本的概念和性質(zhì)的。比如，點集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等。實變函數(shù)論還要研究實變函數(shù)的分類問題、結構問題。
實變函數(shù)論的內(nèi)容包括實值函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)、微分理論、積分理論和測度論等。這里我們只對它的一些重要的基本概念作簡要的介紹。
實變函數(shù)論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運算規(guī)則。由于積分歸根到底是數(shù)的'運算，所以在進行積分的時候，必須給各種點集以一個數(shù)量的概念，這個概念叫做測度。
什么實測度呢？簡單地說，一條線段的長度就是它的測度。測度的概念對于實變函數(shù)論十分重要。集合的測度這個概念實由法國數(shù)學家勒貝格提出來的。
為了推廣積分概念，1893年，約當在他所寫的《分析教程》中，提出了“約當容度”的概念并用來討論積分。1898年，法國數(shù)學家波萊爾把容度的概念作了改進，并把它叫做測度。波萊爾的學生勒貝格后來發(fā)表《積分、長度、面積》的論文，提出了“勒貝格測度”、“勒貝格積分”的概念。勒貝格還在他的論文《積分和圓函數(shù)的研究》中，證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是不連續(xù)點構成一個零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題。
勒貝格積分可以推廣到無界函數(shù)的情形，這個時候所得積分是絕對收斂的，后來由推廣到積分可以不是絕對收斂的。從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出后來又由黎曼發(fā)揚的老積分定義廣大多了。也可以看出，實變函數(shù)論所研究的是更為廣泛的函數(shù)類。
自從維爾斯特拉斯證明連續(xù)函數(shù)必定可以表示成一致收斂的多項式級數(shù)，人們就認清連續(xù)函數(shù)必定可以解析地表達出來，連續(xù)函數(shù)也必定可以用多項式來逼近。這樣，在實變函數(shù)論的領域里又出現(xiàn)了逼近論的理論。
什么是逼近理論呢？舉例來說，如果能把 A類函數(shù)表示成B類函數(shù)的極限，就說A類函數(shù)能以B類函數(shù)來逼近。如果已經(jīng)掌握了B類函數(shù)的某些性質(zhì)，那么往往可以由此推出 A類函數(shù)的相應性質(zhì)。逼近論就是研究那一類函數(shù)可以用另一類函數(shù)來逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現(xiàn)的各種情況。
和逼近理論密切相關的有正交級數(shù)理論，三角級數(shù)就是一種正交級數(shù)。和逼近理論相關的還有一種理論，就是從某一類已知函數(shù)出發(fā)構造出新的函數(shù)類型的理論，這種理論叫做函數(shù)構造論。
總之，實變函數(shù)論和古典數(shù)學分析不同，它是一種比較高深精細的理論，是數(shù)學的一個重要分支，它的應用廣泛，它在數(shù)學各個分支的應用是現(xiàn)代數(shù)學的特征。
實變函數(shù)論不僅應用廣泛，是某些數(shù)學分支的基本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個數(shù)學分支的應用，對形成近代數(shù)學的一般拓撲學和泛涵分析兩個重要分支有著極為重要的影響。
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