平行線定義
在同一平面內,永不相交的兩條直線叫做平行線。
平行線一定要在同一平面內定義,不適用于立體幾何,比如異面直線,不相交,也不平行。
歐氏幾何中平行線的性質
1.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等。
2.兩條平行線被第三條直線所截,內錯角相等。
3.兩條平行線被第三條直線所截,同旁內角互補。
以上性質可簡單說成:
1.兩條直線平行,同位角相等。
2.兩條直線平行,內錯角相等。
3.兩條直線平行,同旁內角互補。
三角形中:
平行線分三角形對應邊成比例。
平行線的判定
1.平行線的定義。(在同一平面內,不相交的兩條直線叫做平行線。)
2.平行公理推論:平行于同一直線的兩條直線互相平行。
3.在同一平面內,垂直于同一直線的兩條直線互相平行。
4.同位角相等,兩直線平行。
5.內錯角相等,兩直線平行。
6.同旁內角互補,兩直線平行。
7.經過直線外一點,能且只能畫一條直線與已知直線平行。
8.兩條直線都平行于第三條直線,那么這兩條直線平行。
平行公理
在同一平面內,過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線互相平行。
在同一平面內,垂直于一條直線的兩直線互相平行。
平行公理的推論:(平行線的傳遞性),如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行。
即平行于同一條直線的兩條直線平行。簡稱:平行于同一條直線的.兩條直線互相平行。
平行線定義的拓展
在高等數學中的平行線的定義是相交于無限遠的兩條直線為平行線,因為理論上是沒有絕對的平行的。
在歐氏幾何中,在兩條平行線中做一條直線AB,以直線AB為半徑以逆時針方向做圓,然后以直線AB為半徑以順時針方向再做一個圓,從兩個圓的交點做垂線CD垂直于直線AB,若CD與AB的角的角度是90度,則說明兩條平行線不會相交。
但歐幾里得不敢思考當兩條平行線無限長時的情況.....
于是包括羅素、黎曼在內的科學家假設當兩條平行線無限長時,他們會在無窮遠處相交。(例如:在地球的球面上,就會發現,相互垂直于赤道的經線會相交于北極點和南極點。)后來,非歐幾何和黎曼空間就誕生了,該成果給了愛因斯坦很大的啟發。
平行線公理就是區分歐氏幾何與非歐幾何的一個重要區別。