題型:計數問題 難度:★★
如果一個大于9的整數,其每個數位上的數字都比它右邊數位上的數字小,那么我們稱它為"迎春數".那么,小于2008的"迎春數"共有 個。
【答案解析】
這是一道組合計數問題.
方法一:枚舉法――按位數分類計算.
一、兩位數中,"迎春數"個數
(1)十位數字是1,這樣的"迎春數"有12,13,…,19,共8個;
(2)十位數字是2,這樣的"迎春數"有23,…,29,共7個;
(3)十位數字是3,這樣的"迎春數"有34,…,39,共6個;
(4)十位數字是4,這樣的"迎春數"有45,…,49,共5個;
(5)十位數字是5,這樣的"迎春數"有56,…,59,共4個;
(6)十位數字是6,這樣的"迎春數"有67,68,69,共3個;
(7)十位數字是7,這樣的"迎春數"有78,79,共2個;
(8)十位數字是8,這樣的"迎春數"只有89這1個;
(9)沒有十位數字是9的兩位的"迎春數";
所以兩位數中,"迎春數"共有36個.
二、三位數中,"迎春數"個數
(1)百位數字是1,這樣的"迎春數"有123-129,134-139,…,189,共28個;
(2)百位數字是2,這樣的'"迎春數"有234-239,…,289,共21個;
(3)百位數字是3,這樣的"迎春數"有345-349,…,389,共15個;
(4)百位數字是4,這樣的"迎春數"有456-459,…,489,共10個;
(5)百位數字是5,這樣的"迎春數"有567-569,…,589,共6個;
(6)百位數字是6,這樣的"迎春數"有678,679,689,共3個;
(7)百位數字是7,這樣的"迎春數"只有789,這1個;
(8)沒有百位數字是8,9的三位的"迎春數";
所以三位數中,"迎春數"共有84個.
三、1000-1999的自然數中,"迎春數"個數
(1)前兩位數字是12,這樣的"迎春數"有1234-1239,…,1289,共21個
(2)前兩位數字是13,這樣的"迎春數"有1345-1349,…,1389,共15個;
(3)前兩位數字是14,這樣的"迎春數"有1456-1459,…,1489,共10個;
(4)前兩位數字是15,這樣的"迎春數"有1567-1569,…,1589,共6個;
(5)前兩位數字是16,這樣的"迎春數"有1678,1679,1689,共3個;
(6)前兩位數字是17,這樣的"迎春數"只有1789這1個;
(7)沒有前兩位數字是18,19的四位的"迎春數";
所以四位數中,"迎春數"共有56個.
四、2000-2008的自然數中,沒有"迎春數"
所以小于2008的自然數中,"迎春數"共有36+84+56=176 個.
方法二:利用組合原理?
小于2008的"迎春數",只可能是兩位數、三位數和1000多的數.
計算兩位 "迎春數"的個數,它就等于從1-9這9個數字中任意取出2個不同的數字,
每一種取法對應于一個"迎春數",即有多少種取法就有多少個"迎春數".顯然不同的取
法有9×8÷2=36 中,所以兩位的"迎春數"共有36個.
同樣計算三位數和1000多的數中"迎春數"的個數,它們分別有 9×8×7÷3÷2÷1=84個和8×7×6÷3÷2÷1=56 個.
所以小于2008的自然數中,"迎春數"共有36+84+56=176 個。