微積分學(吳迪光張彬著)課后答案
微積分學內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、微分學、積分學及其應用。以下是由陽光網(wǎng)小編整理關于微積分學(吳迪光張彬著)課后答案，希望大家喜歡!
微積分學歷史背景
數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分學和積分學也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的。——恩格斯
從15世紀初歐洲文藝復興時期起，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展，形成了一個新的經(jīng)濟時代，宗教改革與對教會思想禁錮的懷疑，東方先進的科學技術通過阿拉伯的傳入，以及拜占庭帝國覆滅后希臘大量文獻的流入歐洲，在當時的知識階層面前呈現(xiàn)出一個完全嶄新的面貌。而十六世紀的歐洲，正處在資本主義萌芽時期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展，生產(chǎn)實踐的發(fā)展向自然科學提出了新的課題，迫切要求力學、天文學等基礎學科的發(fā)展，而這些學科都是深刻依賴于數(shù)學的，因而也推動的數(shù)學的發(fā)展�？茖W對數(shù)學提出的種種要求，最后匯總成多個核心問題：
(1)運動中速度與距離的互求問題
即，已知物體移動的距離S表為時間的函數(shù)的公式S=S(t),求物體在任意時刻的速度和加速度;反過來，已知物體的加速度表為時間的函數(shù)的公式，求速度和距離。這類問題是研究運動時直接出現(xiàn)的，困難在于，所研究的速度和加速度是每時每刻都在變化的。比如，計算物體在某時刻的瞬時速度，就不能象計算平均速度那樣，用運動的時間去除移動的距離，因為在給定的瞬間，物體移動的距離和所用的時間是0，而0/0是無意義的。但是，根據(jù)物理，每個運動的物體在它運動的每一時刻必有速度，這也是無疑的。已知速度公式求移動距離的問題，也遇到同樣的困難。因為速度每時每刻都在變化，所以不能用運動的時間乘任意時刻的速度，來得到物體移動的距離。
(2)求曲線的切線問題
這個問題本身是純幾何的，而且對于科學應用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光學是十七世紀的一門較重要的科學研究，透鏡的設計者要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線入射透鏡的角度以便應用反射定律，這里重要的是光線與曲線的法線間的夾角，而法線是垂直于切線的，所以總是就在于求出法線或切線;另一個涉及到曲線的切線的科學問題出現(xiàn)于運動的研究中，求運動物體在它的軌跡上任一點上的運動方向，即軌跡的切線方向。
(3)求長度、面積、體積、與重心問題等
這些問題包括，求曲線的長度(如行星在已知時期移動的距離)，曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，物體的重心，一個相當大的物體(如行星)作用于另一物體上的引力。實際上，關于計算橢圓的長度的問題，就難住數(shù)學家們，以致有一段時期數(shù)學家們對這個問題的'進一步工作失敗了，直到下一世紀才得到新的結果。又如求面積問題，早在古希臘時期人們就用窮竭法求出了一些面積和體積，如求拋物線在區(qū)間[0，1]上與x軸和直線x=1所圍成的面積S，他們就采用了窮竭法。當n越來越小時，右端的結果就越來越接近所求的面積的精確值。但是，應用窮竭法，必須添上許多技藝，并且缺乏一般性，常常得不到數(shù)字解。當阿基米德的工作在歐洲聞名時，求長度、面積、體積和重心的興趣復活了。窮竭法先是逐漸地被修改，后來由于微積分的創(chuàng)立而根本地修改了。
(4)求最大值和最小值問題
炮彈在炮筒里射出，它運行的水平距離，即射程，依賴于炮筒對地面的傾斜角，即發(fā)射角。一個“實際”的問題是求能獲得最大射程的發(fā)射角。十七世紀初期，Galileo斷定(在真空中)最大射程在發(fā)射角是45時達到;他還得出炮彈從各個不同角度發(fā)射后所達到的不同的最大高度。研究行星的運動也涉及到最大值和最小值的問題，如求行星離開太陽的距離。[1]
微積分學創(chuàng)立過程
早期思想
早在公元前7世紀，古希臘科學家、哲學家泰勒斯就對球的面積、體積、與長度等問題的研究就含有微積分思想。古希臘數(shù)學家、力學家阿基米德(公元前287~前212)的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有積分學的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線所得的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。中國古代數(shù)學家也產(chǎn)生過積分學的萌芽思想，例如三國時期的劉徽，他對積分學的思想主要有兩點：割圓術及求體積問題的設想。
在3世紀，中國數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的割圓術用圓內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替圓面積，求出圓周率π的近似值3.141024，并指出：“割之彌細，所失彌少 ，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣”。劉徽對面積的深刻認識和他的割圓術方法，正是極限思想的具體體現(xiàn) 。數(shù)列極限是函數(shù)極限的基礎， 一個數(shù)列an如果當n無限增大時，an與某一實數(shù)無限接近，就稱之為收斂數(shù)列，a為數(shù)列的極限，記作liman=a例如an=1/n，數(shù)列的極限為0。
微分學
微分學的基本概念是導數(shù)。導數(shù)是從速度問題和切線問題抽象出來的數(shù)學概念。牛頓從蘋果下落時越落越快的現(xiàn)象受到啟發(fā)，希望用數(shù)學工具來刻畫這一事實。若用s=s(t)表示物體的運動規(guī)律，即物體運動中所走路程s與時間t的關系，那么物體在t=t0時的瞬時速度為v(t0)，并記v(t0)=s′(t0)，并稱之為路程s關于時間t的導數(shù)或變化率 ，也可記v(t0)=()|t=t0。而物體運動的加速度a(t)=v′(t)=s″(t)=()。導數(shù)作為一個數(shù)學工具無論在理論上還是實際應用中，都起著基礎而重要的作用。例如在求極大、極小值問題中的應用。
積分學
積分學的基本概念是一元函數(shù)的不定積分和定積分。主要內(nèi)容包括積分的性質(zhì)、計算，以及在理論和實際中的應用。不定積分概念是為解決求導和微分的逆運算而提出來的。如果對每一x∈I ，有f(x)=F′(x)，則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，f(x)的全體原函數(shù)叫做不定積分，記為，因此，如果F(x)是 f(x)的一個原函數(shù)，則=F(x)+C，其中C為任意常數(shù)。定積分概念的產(chǎn)生來源于計算平面上曲邊形的面積和物理學中諸如求變力所作的功等物理量的問題。解決這些問題的基本思想是用有限代替無限;基本方法是在對定義域[a，b]進行劃分后，構造一個特殊形式的和式，它的極限就是所要求的量。具體地說，設f(x)為定義在[a，b]上的函數(shù)，任意分劃區(qū)間[a，b]:a=x0<x1<…<xn=b，記，||Δ||=max{Δxi}，任取 xi ∈Δxi，如果有一實數(shù)I，有下式成立 ： ，則稱I為f(x)在[a，b]上的定積分，記為I=f(x)dx。當f(x)≥0時，定積分的幾何意義是表示由x=a，x=b，y=0和y=f(x)所圍曲邊形的面積。定積分除了可求平面圖形的面積外，在物理方面的應用主要有解微分方程的初值問題和“微元求和”。
聯(lián)系微分學和積分學的基本公式是：若f(x)在[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則f(x)dx=F(b)-F(a)。通常稱之為牛頓-萊布尼茲公式。因此，計算定積分實際上就是求原函數(shù)，也即求不定積分。但即使f(x)為初等函數(shù)，計算不定積分的問題也不能完全得到解決，所以要考慮定積分的近似計算，常用的方法有梯形法和拋物線法。微積分學是微分學和積分學的總稱。
客觀價值
客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數(shù)學中引入了變量的概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學來加以描述了。
由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深，也由于科學技術發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數(shù)學發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學中的最大的一個創(chuàng)造。
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