高中幾何證明選講課后練習及答案解析

　　1、[選修4-1：幾何證明選講]如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC=2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E.證明：

　　①BE=EC;

　　②AD·DE=2PB2.

　　證明：①∵PC=2PA，PD=DC，∴PA=PD，△PAD為等腰三角形.

　　連接AB，則∠PAB=∠DEB=β，∠BCE=∠BAE=α，

　　∵∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE，

　　∴β+α=β+∠DBE，即α=∠DBE，即∠BCE=∠DBE，所以BE=EC.

　　②∵AD·DE=BD·DC，PA2=PB·PC，PD=DC=PA，

　　BD·DC=(PA-PB)PA=PB·PC-PB·PA=PB·(PC-PA)，

　　PB·PA=PB·2PB=2PB2.

　　2、[選修4-4：坐標系與參數方程]在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為y=2+2sinα(x=2cosα)(α為參數)，M為C1上的動點，P點滿足→(OP)=2→(OM)，點P的軌跡為曲線C2.

　　①求C2的參數方程;

　　②在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ=3(π)與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|.

　　解：①設P(x，y)，則由條件知M2(y).由于M點在C1上，所以=2+2sinα(y)，即y=4+4sinα(x=4cosα).

　　從而C2的參數方程為

　　y=4+4sinα(x=4cosα)(α為參數).

　　②曲線C1的極坐標方程為=4sinθ，曲線C2的極坐標方程為=8sinθ.

　　射線θ=3(π)與C1的交點A的極徑為1=4sin3(π)，

　　射線θ=3(π)與C2的交點B的極徑為2=8sin3(π).

　　所以|AB|=|2-1|=2.

　　3、 [選修4-5：不等式選講]已知函數f(x)=|x-m|+|x+6|(m∈R).

　　①當m=5時，求不等式f(x)≤12的解集;

　　②若不等式f(x)≥7對任意實數x恒成立，求m的取值范圍.

　　解：①當m=5時，f(x)≤12即|x-5|+|x+6|≤12，

　　當x<-6時，得-2x≤13，

　　即x≥-2(13)，所以-2(13)≤x<-6;

　　當-6≤x≤5時，得11≤12成立，所以-6≤x≤5;

　　當x>5時，得2x≤11，

　　即x≤2(11)，所以5

　　故不等式f(x)≤12的解集為2(11).

　　②f(x)=|x-m|+|x+6|≥|(x-m)-(x+6)|=|m+6|，

　　由題意得|m+6|≥7，則m+6≥7或m+6≤-7，解得m≥1或m≤-13，

　　故m的取值范圍是(-∞，-13]∪[1，+∞).

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