菲洛線研究
菲洛線研究
陳宣章
古代數學三大難題:用尺規作圖解決化圓為方、三等分角、立方倍體問題。它們已經被證明是不可能的。菲洛(Philo)線的尺規作圖是另一個平面幾何的世界難題。李明波用“李明波線段”證明了菲洛線的尺規作圖不可能。[1]
什么是菲洛線?定角∠BAC內一定點Q引直線交兩邊于P、H,線段PH的最短線就是菲洛線。(注:一般用QR表示菲洛線。我用PH表示菲洛線,因為Philo的詞頭是PH。)早就有人證明了菲洛線的特征:過P作AB的垂線、過H作AC的垂線,過Q作PH的垂線,則三條垂線同交于一點D。[2]
定角∠BAC的定義為0° <∠BAC <180°(0°、180°無意義;90°為特殊情況)。因為菲洛線的尺規作圖不可能,我用倒畫法,先畫菲洛線PH,再確定PH上的定點Q:在∠BAC的兩邊上取P、H點,連接PH。過P作AB的垂線、過H作AC的垂線,兩條垂線交于D點。過D作PH的垂線, 垂足為Q。則PH為過定點Q的菲洛線(圖1)。
對倒畫法的研究:圖2中,定角∠BAC內作菲洛線PH并確定定點Q。作PH1⊥AC(H1為垂足);作PH2⊥AB(H2為垂線與AC的交點);在AC上取AH3=AP,連接PH3。
1.當AC上取點在AH1(不含H1)上時,例如H4,則過H4作AC的垂線與過P作AB的垂線相交于D4,D4一定位于AB的左側;過D4作H4 P延長線的垂線D4Q4(Q4為垂足),Q4也位于AB的左側。Q4超出了“定點在∠BAC內”的范疇。
2.當AC上取點在H1上時,菲洛線PH1的定點就是P。長度PH1=AP* sin∠BAC。
3.當AC上取點在H3上時,菲洛線PH3的定點Q3就是PH3的中點。證明:過H3作AC的垂線交PH2于D3,連接AD3,則AD3是∠BAC的角平分線。在等腰△APH3中,∠BAC的角平分線一定是底PH3的高�！郉3Q3⊥PH3∴Q3是菲洛線PH3的定點。
4.當AC上取點在H1H3(不含H1、H3)上時,菲洛線PH定點Q位于∠BAC左邊一半內。
5.當AC上取點在H2H3(不含H2、H3)上時,菲洛線的定點位于∠BAC的右邊一半內。
6.當AC上取點在H2上時,菲洛線PH2的'定點就是H2。長度PH2=AP*tg∠BAC。
7.當AC上取點在H2C(不含H2)上時,例如H5,則過H5作AC的垂線與過P作AB的垂線相交于D5,D5一定位于AC的右側;過D5作PH5延長線的垂線D5Q5(Q5為垂足),Q5也位于AC的右側。Q4超出了“定點在∠BAC內”的范疇。
∴定理1:對于∠BAC內定點Q的菲洛線,如果其在AB上的位置確定位于P,則其在AC上的位置只能在H1H2之間;也即是∠BAC內定點的菲洛線只能在直角△PH1H2中。
如果把H1H2等分成n份(在H1H2上有n-1個等分點),就能作出n-1條菲洛線。1.從H1到H2每條菲洛線的定點Q,總是向右變化。2.以PH3為水平線,當H點從H1→H3變化時,定點Q先向上再向下回到PH3的水平,其中有一個最高點;當H點從H3→H2變化時,定點Q總是向下變化。3.如果n→∞,可以得到一條平滑的定點Q變化軌跡的曲線。如果以P為原點、PH1為X軸、PH2為Y軸構成一個笛卡爾坐標系,那條定點Q變化軌跡的曲線應該有一個函數方程Y=f(X)。這個函數方程的自變量X受∠BAC大小影響。Q變化軌跡的曲線全部位于第二象限。
菲洛線問題中,僅有三個因素:∠BAC大小、定點Q的長度AQ及定點Q的位置(即∠BAQ的大小。具體說,定點Q有五種位置:①位于AB上;②位于AB與∠BAC角平分線之間;③位于∠BAC角平分線上;④位于∠BAC角平分線與AC之間;⑤位于AC上。因為∠BAC為銳角、直角或鈍角時的情況有所不同,所以分別研究。
∠BAC為銳角
圖1中,PH為過定點Q的菲洛線。以A為圓心,AQ為半徑作弧交∠BAC兩邊于Q1、Q2。作∠BAC的角平分線交弧Q1Q2于Q3。于是,弧Q1Q2就是AQ為定長l時,所有Q點的可能位置(或者說:當AQ為定長l時,Q點可以從Q1向Q2移動)。因為弧Q1Q2上,以AQ3為對稱軸,左邊與右邊對稱,所以我們只需要研究Q點從Q1向Q3移動的情況。
1.當Q點位于Q1時,其菲洛線為從Q1作AC的垂線Q1H1(垂足為H1)。Q1H1=l*sin∠BAC。
2.當Q點位于Q3時,其菲洛線為從Q3作AQ3的垂線P3H3�！逷3Q3=l* tg∠BAC/2�！郟3H3=2l*tg(∠BAC/2)。
過P作AC的垂線PH2�！逷H>PH2> Q1H1∴PH>Q1H1。當Q點位于Q1到Q3之間(即位于∠BAC左半部,不含Q1)時,Q點的菲洛線長度都一定大于Q1H1。
過H3作PQ的平行線P2H3,交AB于P2。過P作AC的平行線,交P2H3于E。則在平行四邊形PEH3H中,EH3=PH。過E作P2H2的垂線,交P3H3于F。∵P3H3>FH3>EH3;EH3=PH∴P3H3>PH。
∴定理2:Q點從Q1向Q3移動中,菲洛線的長度越來越長,最小為Q1H1,最大為P3H3。Q點從Q3向Q2移動中反之,菲洛線的長度則越來越短。Q1H1=l*sin∠BAC;P3H3=2l*tg(∠BAC/2)。
Q位于弧Q1Q3上(即在弧Q1Q3的左半部分),PH為最短菲洛線。如果Q為不動點,直線PQH作逆時針或順時針旋轉,PH的長度都會越來越大,直至直線PQH平行于AB或AC,其長度為∞。
圖3中,PH為過定點Q的菲洛線。過Q分別作AB、AC的垂線,分別交AB、AC于E、G、F、I。連接AQ。在直角△AGI中,∠AGI為∠BAC的余角;在直角△GQE中,∠GQE為∠AGI的余角∴∠GQE=∠BAC。同理,∠FQI=∠BAC�！螰QI與∠GQE又是對頂角。
∵對于定點Q,菲洛線PH最短,它一定位于EF與GI之間的范圍中。過Q作直線如果超出EF與GI的范圍,與AB、AC相交點的距離一定會越來越長,直至直線與AB或AC平行,與AB或AC相交的距離長度為∞。如果過Q作直線位于這兩個平行線之間的范疇,只能與AB(或AC)相交,與另一邊AC(或AB)絕不相交。
“古代數學三大難題:用尺規作圖解決化圓為方、三等分角、立方倍體問題。它們已經被證明是不可能的,但是,數學家們對求問題近似解的研究卻是風起云涌,尤其是在化圓為方的問題上�！盵3] 我認為:PQ位于EQ與GQ之間的位置偏離,和PQ分割∠GQE有關;如果PQ分割∠GQE接近“AQ分割∠BAC’,則PH是菲洛線的近似解。所以只要作∠GQP’=∠BAQ,延長P’Q與AC相交于H1’,就能得到Q點菲洛線的近似解P’H1’。
圖3中,延長AQ至Q1,過Q1作PH的平行線,交AB、AC于P1H1;延長AD至D1,與P1H1的垂線相交于D1;連接P1D1與H1D1。
在△AQD與△AQ1D1中,∵QD∥Q1D1∴AD/ AD1=QD/ Q1D1=AQ/ AQ1;在△AQH與△AQ1H1中,∵QH∥Q1H1∴QH/ Q1H1=AH/ A1H1=AQ/ AQ1;在直角△HQD與直角△H1Q1D1中,∵QD/ Q1D1=AQ/ AQ1;QH/ Q1H1=AQ/ AQ1∴直角△HQD∽直角△H1Q1D1∴HD/ H1D1=AQ/ AQ1。在△AHD與△AH1D1中,∵AD/ AD1=AQ/ AQ1;DH/ D1H1=AQ/ AQ1;AH/ A1H1=AQ/ AQ1∴△AHD∽△AH1D1∴∠A1H1D1=∠AHD=90°。同理可證明∠A1P1D1=90°�！郟1H1是定點Q1的菲洛線。
∴定理3:射線AQ上所有點的菲洛線相互平行。也即:只要∠BAQ確定,射線AQ上的所有點的菲洛線都相互平行。
∠BAC為直角
圖4中,PH為過直角∠BAC內定點Q的菲洛線。以A為圓心,AQ為半徑作弧交∠BAC兩邊于Q1、Q2。作∠BAC的角平分線交弧Q1Q2于Q3�；1Q2是AQ為定長l時,所有Q點的可能位置。
1.當Q位于Q1時,菲洛線為過Q1作AC的垂線,與Q1A重疊�！郠1A長度為l。
2.當Q位于Q3時,菲洛線為過Q3作A Q3的垂線P3H3。P3H3長度為2l。
同定理2可證明:Q點從Q1向Q3移動中,菲洛線的長度越來越長,最小為Q1H1,最大為P3H3。Q點從Q3向Q2移動中反之,菲洛線的長度則越來越短。Q1H1=l;P3H3=2l。
Q位于弧Q1 Q3上(即在弧Q1 Q3的左半部分)時,PH為最短菲洛線。如果Q為不動點,直線PQH作逆時針或順時針旋轉,PH的長度都會越來越大,直至直線PQH平行于AB或AC,其長度為∞。
∠BAC為鈍角
圖5中,PH為過鈍角∠BAC內定點Q的菲洛線。以A為圓心,AQ為半徑作弧交∠BAC兩邊于Q1、Q2。作∠BAC的角平分線交弧Q1Q2于Q3。弧Q1Q2是AQ為定長l時,所有Q點的可能位置。
1.當Q位于Q1時,過Q1不可能直接作AC的垂線,只能作AC延長線的垂線。菲洛線仍然為Q1A。Q1A長度為l。
2.當Q位于Q3時,菲洛線為過Q3作A Q3的垂線P3H3。P3H3長度為2l*tg(∠BAC/2)。
Q位于弧Q1 Q3上(即在弧Q1 Q3的左半部分),PH為最短菲洛線。如果Q為不動點,直線PQH作逆時針或順時針旋轉,PH的長度都會越來越大,直至直線PQH平行于AB或AC,其長度為∞。
參考資料:
[1]郝錫鵬。李明波解開菲洛線尺規作圖之謎。北京:津乾論壇。
[2]傅鐘鵬。極值巧解。沈陽:遼寧人民出版社,1980:22-24。
[3]陳仁政。說不盡的π。北京:科學出版社,2005:195-202,207。
2016.10.28.
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