常微分方程第二版課后答案

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　　常微分方程課后答案 第二版 (丁同仁)版

　　常微分方程第二版課后答案：習題1.2

　　1.dy

　　dx=2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 解：dy

　　y=2xdx 兩邊積分有：ln|y|=x2+c

　　y=ex2+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0時，y=0 原方程的通解為y= cex2,x=0 y=1時 c=1

　　特解為y= ex2.

　　2. y2dx+(x+1)dy=0 并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 解：y2dx=-(x+1)dy dyy2dy=-1

　　x1dx

　　兩邊積分: -1y=-ln|x+1|+ln|c| y=1

　　ln|c(x1)|

　　另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1時 c=e 特解：y=1

　　ln|c(x1)|

　　dy1y2

　　3.dx=xyx3y

　　解：原方程為：dydx=1y21

　　yxx3

　　1y21

　　ydy=xx3dx

　　兩邊積分：x(1+x2)(1+y2)=cx2

　　4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

　　解：原方程為： 1yx1

　　ydy=-xdx

　　兩邊積分：ln|xy|+x-y=c

　　另外 x=0,y=0也是原方程的解。

　　5.(y+x)dy+(x-y)dx=0

　　解：原方程為：

　　dydx=-xy

　　xy 令ydyx=u 則dx=u+xdu

　　dx 代入有： -u11

　　u21du=xdx

　　ln(u2+1)x2=c-2arctgu

　　即 ln(y2+x2)=c-2arctgy

　　x2. 6. xdy22

　　dx-y+xy=0

　　解：原方程為： dydx=yx+|x|

　　x-(y2

　　x) 則令yx=u dydudx=u+ xdx

　　1 du=sgnx 1

　　u2xdx arcsiny

　　x=sgnx ln|x|+c

　　7. tgydx-ctgxdy=0

　　解:原方程為：dydx

　　tgy=ctgx

　　兩邊積分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=1c

　　ccosx=cosx 另外y=0也是原方程的.解，而c=0時，y=0. 所以原方程的通解為sinycosx=c. y23x

　　8 dye

　　dx+y=0

　　dyey2

　　解：原方程為：dx=3x

　　ye

　　2 e3x-3ey2=c.

　　9.x(lnx-lny)dy-ydx=0

　　解：原方程為：dyyy

　　dx=xlnx 令y

　　x=u ,則dydu

　　dx=u+ xdx

　　u+ xdu

　　dx=ulnu

　　ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lny

　　x=cy. 10. dy

　　dx=exy

　　解：原方程為：dyx

　　dx=eey

　　ey=cex 11 dy2

　　dx=(x+y)

　　解：令x+y=u,則dydudx=dx-1

　　du2dx-1=u

　　1

　　1u2du=dx

　　arctgu=x+c

　　arctg(x+y)=x+c 12. dydx=1

　　(xy)2

　　解：令x+y=u,則dydx=du

　　dx-1 du1

　　dx-1=u2

　　u-arctgu=x+c

　　y-arctg(x+y)=c. 13. dy2xy1

　　dx=x2y1

　　解: 原方程為：(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y2-y)-dx2+x=c

　　xy-y2+y-x2-x=c 14: dyx

　　dx=y5

　　xy2

　　解：原方程為：(x-y-2)dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(1

　　2y2+2y)-d(12

　　2x+5x)=0

　　y2+4y+x2+10x-2xy=c. 15: dy

　　dx=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy1

　　解：原方程為：dy

　　dx=(x+4y)2+3

　　令x+4y=u 則dy1dudx=4dx-14

　　1du1

　　4dx-4=u2+3

　　du

　　dx=4 u2+13 u=3

　　2tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=2

　　3(x+4y+1).

　　16:證明方程xdy

　　ydx=f(xy),經變換xy=u可化為變量分離方程，并由此求下列方程：

　　1) y(1+x2y2)dx=xdy

　　2) xdy2x2 y2

　　ydx=2-x2y2

　　證明： 令xy=u,則xdydu

　　dx+y=dx

　　則dy1duu

　　dx=xdx-x2，有： xdu

　　udx=f(u)+1 1

　　u(f(u)1)du=1

　　xdx

　　所以原方程可化為變量分離方程。

　　1) 令xy=u 則dydx=1duu

　　xdx-x2 (1) 原方程可化為：dyy2

　　dx=x[1+(xy)] (2)

　　將1代入2式有：1duxdx-uu2

　　x2=x(1+u) u=u22+cx

　　17.求一曲線，使它的切線坐標軸間的部分初切點分成相等的部分。

　　解：設(x +y )為所求曲線上任意一點，則切線方程為：y=y’(x- x )+ y 則與x軸，y軸交點分別為：

　　x= xy0

　　0 - y' y= y0 - x0 y’

　　則 x=2 xy0

　　0 = x0 - y' 所以 xy=c

　　18.求曲線上任意一點切線與該點的向徑夾角為0的曲線方程，其中 =

　　4 。

　　解：由題意得：y’=y11

　　x ydy=x dx

　　ln|y|=ln|xc| y=cx.

　　 =

　　4 則y=tgx 所以 c=1 y=x.

　　19.證明曲線上的切線的斜率與切點的橫坐標成正比的曲線是拋物線。

　　證明：設(x,y)為所求曲線上的任意一點，則y’=kx

　　則：y=kx2 +c 即為所求。

　　常微分方程習題2.1

　　1.dy

　　dx2xy,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.

　　解：對原式進行變量分離得

　　12

　　ydy2xdx,兩邊同時積分得：lnyx2c,即ycex把x0,y1代入得

　　2

　　c1,故它的特解為yex。

　　2.y2dx(x1)dy0,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.

　　解：對原式進行變量分離得：

　　1

　　x1dx111

　　y2dy,當y0lnxyc,即yclnx1

　　當y0時顯然也是原方程的解。當x0,y1時，代入式子得c1,故特解是y1

　　1lnx。

　　2

　　3 dy1

　　dxyxyx3y

　　解：原式可化為：

　　dydx1y2y1

　　xx顯然31y2yy10,dydx23xx1y1兩邊積分得ln2y212lnxlnxlnc(c0),即(12

　　(1x)cxy)222y)(1x)cx 222故原方程的解為(1

　　5:(yx)dy(yx)dx0

　　dy

　　dxyx

　　yx,令y

　　xu,yux,dy

　　dxuxdu

　　dx

　　則uxdu

　　dxu1u11

　　u1,變量分離，得：u21duxdx

　　兩邊積分得：arctgu12

　　2ln(1u)lnxc。

　　6：xdy

　　dxyx2y2

　　解：令y

　　xu,yux,dy

　　dxuxdu

　　dx,則原方程化為：

　　du2

　　x(1u2),11dxxu2dusgnxxdx兩邊積分得：arcsinusgnxlnxc代回原來變量，得arcsiny

　　xsgnxlnxc

　　另外，y2x2也是方程的解。7：tgydxctgxdy0

　　解：變量分離，得：ctgydytgxdx兩邊積分得：lnsinylncosxc.

　　y23x

　　8:dy

　　dxy

　　y

　　y2dy13xe3ec

　　9:x(lnxlny)dyydx0

　　解：方程可變為：lny

　　xdyy

　　xdx0

　　令uy1lnu

　　x,xdx1lnudlnu代回原變量得：cy1lny

　　x。

　　10dyxy

　　dxe

　　解：變量分離eydyexdx

 

　　兩邊積分eyexc

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