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高考數學第一輪直線的相互關系精品導學案復習
【高考要求】：直線的平行關系與垂直關系（B）；兩條直線的交點（B）；
兩點間的距離、點到直線的距離（B）
【學習目標】：能根據斜率判定兩條直線平行或垂直；了解二元一次方程組的解與兩直線的交點坐標之間的關系,數形結合思想；能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標；掌握兩點間的距離公式和點到直線的距離公式及其簡單應用；會求兩條平行直線間的距離.
【知識復習與自學質疑】
（一）問題：
1、如何根據兩條直線的斜率判斷直線的位置關系？
2、二元一次方程組的解與兩直線的交點坐標之間的關系如何？
3、點到直線的距離公式是什么？兩條平行線之間的距離呢？
（二）練習：
1、已知點P(3,5),直線L:3x-2y-7=0,,則過點P且與L平行的直線的方程為
；過點P且與L垂直的直線的方程為 ,點P到直線L的距離為 ；直線L與直線6x-4y+1=0間的距離為 .
2、設直線a:x+my+6=0和b:(m-2)x+3y+2m=0，當m= 時 ， ；當m= 時a 時a與b相交，當m= 時 a與b重合。
3、若兩條直線不重合的直線分別為a： 和 則a 的充要條件為 a 的充要條件為 .
【例題精講】
1、已知兩條直線a:(3+m)x+4y=5-3m,b:2x+(5+m)y=8. 問:當m分別為何值時,a與b （1）相交？（2）平行？（3）垂直？
2、已知直線a經過P（3，1），且被兩條平行直線b:x+y+1=0和c:x+y+6=0截得的線段之長為5，求直線a的方程。
3、在直線L:3x-y-1=0上求一點P，使得
（1）P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；
（2）P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小。
【矯正反饋】
1、若直線a;y=kx+k+2與b:y=-2x+4的交點在第一象限，則k的取值范圍是
2、已知直線m:(a+2)x+(a+3)y-5=0和n:6x+(2a-1)y－５=0
（１）當m n時，實數a的值為 （２）當m 時實數的值為
3、如果直線ax-y+2+0和3x-y-b=0關于直線x-y=0對稱 ，a= b=
4、已知a,b ，直線m:x+ y+1=0與直線n: 互相垂直，則 則的最小值是 .
【遷移應用】
1、若曲線y=a y=x+a(a>0)有兩個公共點，則a的取值范圍是 。
2、將一張坐標紙折疊一次，使點M(0,4)與N(1,3)重合，則與點P(2004,2010)重合的坐標是 .
3、直線2x+3y-6=0關于點（１，－１）對稱的直線方程是 。
4、與直線3x+4y+12=0平行，且與坐標軸構成的三角形面積是２４的直線L的方程是 。
5、已知點P(3,4),Q(a,b)關于直線x-y-1=0對稱，則a= ，b=
6、在坐標平面內，與點A(1,2)距離為１,且與點B(3,1)的距離為２的直線共有
條。
7、已知直線a:mx+8y+n=0與b:2x+my-1=0互相平行，求過點(m,n)且與a,b垂直,同時被a,b截得的弦長為 的直線方程
8、已知一條光線經過點Ｐ（２，３），入射到直線Ｌ：x+y+1=0上，經過直線L反射后，恰好過點Ｑ（１,1）
（1）求入射光線所在直線的方程；（２）求這條光線從Ｐ到Ｑ經過的長度
2016屆高考數學第一輪函數專項復習教案
●網絡體系總覽
●考點目標定位
1.理解函數的概念，了解映射的概念.
2.了解函數的單調性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性的方法.
3.了解反函數的概念及互為反函數的函數圖象間的關系，會求一些簡單函數的反函數.
4.理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函數的概念、圖象和性質.
5.理解對數的概念，掌握對數的運算性質，掌握對數函數的概念、圖象和性質.
6.能夠運用函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡單的實際問題.
●復習方略指南
基本函數：一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數與對數函數，它們的圖象與性質是函數的基石.求反函數，判斷、證明與應用函數的三大特性（單調性、奇偶性、周期性）是高考命題的切入點，有單一考查（如全國2004年第2題），也有綜合考查（如江蘇2004年第22題）.函數的圖象、圖象的變換是高考熱點（如全國2004年Ⅳ，北京2005年春季理2），應用函數知識解其他問題，特別是解應用題能很好地考查學生分析問題、解決問題的能力，這類問題在高考中具有較強的生存力.配方法、待定系數法、數形結合法、分類討論等，這些方法構成了函數這一章應用的廣泛性、解法的多樣性和思維的創造性，這均符合高考試題改革的發展趨勢.
特別在“函數”這一章中，數形結合的思想比比皆是，深刻理解和靈活運用這一思想方法，不僅會給解題帶來方便，而且這正是充分把握住了中學數學的精髓和靈魂的體現.
復習本章要注意：
1.深刻理解一些基本函數，如二次函數、指數函數、對數函數的圖象與性質，對數與形的基本關系能相互轉化.
2.掌握函數圖象的基本變換，如平移、翻轉、對稱等.
3.二次函數是初中、高中的結合點，應引起重視，復習時要適當加深加寬.二次函數與二次方程、二次不等式有著密切的聯系，要溝通這些知識之間的內在聯系，靈活運用它們去解決有關問題.
4.含參數函數的討論是函數問題中的難點及重點，復習時應適當加強這方面的訓練，做到條理清楚、分類明確、不重不漏.
5.利用函數知識解應用題是高考重點，應引起重視.
2.1函數的概念
●知識梳理
1.函數的定義：設A、B是非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x∈A，其中x叫做自變量.x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合{f（x）x∈A}叫做函數的值域.
2.兩個函數的相等：函數的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則f.當函數的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之后，函數的值域也就隨之確定.因此，定義域和對應法則為函數的兩個基本條件，當且僅當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一個函數.
3.映射的定義：一般地，設A、B是兩個集合，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么，這樣的對應（包括集合A、B，以及集合A到集合B的對應關系f）叫做集合A到集合B的映射，記作f:A→B.
由映射和函數的定義可知，函數是一類特殊的映射，它要求A、B非空且皆為數集.
特別提示
函數定義的三要素是理解函數概念的關鍵，用映射的觀點理解函數概念是對函數概念的深化.
●點擊雙基
1.設集合A=R，集合B=正實數集，則從集合A到集合B的映射f只可能是
A.f:x→y=xB.f:x→y=
C.f:x→y=3－xD.f:x→y=log2（1+x）
解析：指數函數的定義域是R，值域是（0，+∞），所以f是x→y=3－x.
答案：C
2.設M={x－2≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，函數f（x）的定義域為M，值域為N，則f（x）的圖象可以是
解析：A項定義域為［－2，0］，D項值域不是［0，2］，C項對任一x都有兩個y與之對應，都不符.故選B.
答案：B
3.（2004年全國Ⅰ，理2）已知函數f（x）=lg ，若f（a）=b，則f（－a）等于
A.bB.－bC. D.－
解析：f（－a）=lg =－lg =－f（a）=－b.
【答案】B
4.（2004年全國Ⅲ，理5）函數y= 的定義域是
A.［－ ，－1）∪（1， ］B.（－ ，－1）∪（1， ）
C.［－2，－1）∪（1，2］D.（－2，－1）∪（1，2）
解析： － ≤x＜－1或1＜x≤ .∴y= 的定義域為［－ ，－1）∪（1， ］.
答案：A
5.（2004年浙江，文9）若函數f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定義域和值域都是［0，1］，則a等于
A. B. C. D.2
解析：f（x）=loga（x+1）的定義域是［0，1］，∴0≤x≤1，則1≤x+1≤2.
當a＞1時，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；
當0＜a＜1時，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，與值域是［0，1］矛盾.
綜上，a=2.
答案：D
●典例剖析
【例1】試判斷以下各組函數是否表示同一函數？
（1）f（x）= ，g（x）= ；
（2）f（x）= ，g（x）=
（3）f（x）= ，g（x）=（ ）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）= ，g（x）= ；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.
剖析：對于兩個函數y=f（x）和y=g（x），當且僅當它們的定義域、值域、對應法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數.若兩個函數表示同一函數，則它們的圖象完全相同，反之亦然.
解：（1）由于f（x）= =x，g（x）= =x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數.
（2）由于函數f（x）= 的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）= 的定義域為R，所以它們不是同一函數.
（3）由于當n∈N*時，2n±1為奇數，∴f（x）= =x，g（x）=（ ）2n－1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數.
（4）由于函數f（x）= 的定義域為{xx≥0}，而g（x）= 的定義域為{xx≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數.
（5）函數的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數.
評述：（1）第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數，原因是對函數的概念理解不透.要知道，在函數的定義域及對應法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達式，這對于函數本身并無影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數.
（2）對于兩個函數來講，只要函數的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數就不可能是同一函數.
【例2】集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立從A到B的映射個數是__________，從B到A的映射個數是__________.
剖析：從A到B可分兩步進行：第一步A中的元素3可有3種對應方法（可對應5或6或7），第二步A中的元素4也有這3種對應方法.由乘法原理，不同的映射種數N1＝3×3＝9.反之從B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8種不同映射.
答案：98
深化拓展
設集合A中含有4個元素，B中含有3個元素，現建立從A到B的映射f:A→B，且使B中每個元素在A中都有原象，則這樣的映射有___________________個.
提示：因為集合A中有4個元素，集合B中有3個元素，根據題意，A中必須有2個元素有同一個象，因此，共有C A =36個映射.
答案：36
【例3】（2004年廣東，19）設函數f（x）=1－ （x＞0），證明：當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，ab＞1.
剖析一：f（a）=f（b） 1－ =1－ （1－ ）2=（1－ ）2 2ab=a+b≥2 ab＞1.
證明：略.
剖析二：f（x）=
證明：f（x）在（0，1］上是減函數，在（1，+∞）上是增函數.由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且 －1=1－ ，即 + =2 a+b=2ab≥2 ab＞1.
評注：證法一、證法二是去絕對值符號的兩種基本方法.
●闖關訓練
夯實基礎
1.設集合A和B都是自然數集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，則在映射f下，象20的原象是
A.2B.3C.4D.5
解析：由2n＋n＝20求n，用代入法可知選C.
答案：C
2.某種型號的手機自投放市場以來，經過兩次降價，單價由原來的2000元降到1280元，則這種手機平均每次降價的百分率是
A.10%B.15%C.18%D.20%
解析：設降價百分率為x%，
∴2000（1－x%）2=1280.解得x=20.
答案：D
3.（2004年全國Ⅲ，理11）設函數f（x）= 則使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍為
A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］
C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］
解析：f（x）是分段函數，故f（x）≥1應分段求解.
當x＜1時，f（x）≥1 （x+1）2≥1 x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.
當x≥1時，f（x）≥1 4－ ≥1 ≤3 x≤10，∴1≤x≤10.
綜上所述，x≤－2或0≤x≤10.
答案：A
4.（2004年浙江，文13）已知f（x）= 則不等式xf（x）+x≤2的解集是___________________.
解析：x≥0時，f（x）=1，
xf（x）+x≤2 x≤1，∴0≤x≤1；
當x＜0時，f（x）=0，
xf（x）+x≤2 x≤2，∴x＜0.綜上x≤1.
答案：{xx≤1}
5.（2004年全國Ⅳ，文）已知函數y=log x與y=kx的圖象有公共點A，且A點的橫坐標為2，則k的值等于
A.－ B. C.－ D.
解析：由點A在y=log x的圖象上可求出A點縱坐標y=log 2=－ .又A（2，－ ）在y=kx圖象上，－ =k?2，∴k=－ .
答案：A
培養能力
6.如下圖，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿著折線BCDA由B點（起點）向A點（終點）移動，設P點移動的路程為x，△ABP的面積為y=f（x）.
（1）求△ABP的面積與P移動的路程間的函數關系式；
（2）作出函數的圖象，并根據圖象求y的最大值.
解：（1）這個函數的定義域為（0，12）.
當0＜x≤4時，S=f（x）= ?4?x=2x；
當4＜x≤8時，S=f（x）=8；
當8＜x＜12時，S=f（x）= ?4?（12－x）=2（12－x）=24－2x.
∴這個函數的解析式為f（x）=
（2）其圖形為
由圖知，［f（x）］max=8.
7.若f:y=3x+1是從集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一個映射，求自然數a、k的值及集合A、B.
解：∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定義知（1） 或（2）
∵a∈N，∴方程組（1）無解.
解方程組（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
8.如果函數f（x）=（x+a）3對任意x∈R都有f（1+x）=－f（1－x），試求f（2）+f（－2）的值.
解：∵對任意x∈R，總有f（1+x）=－f（1－x），
∴當x=0時應有f（1+0）=－f（1－0），
即f（1）=－f（1）.∴f（1）=0.
又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3.
故有（1+a）3＝0 a=－1.∴f（x）=（x－1）3.
∴f（2）+f（－2）=（2－1）3＋（－2－1）3＝13＋（－3）3＝－26.
探究創新
9.集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N滿足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的個數是多少？
解：∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，
∴有0+0+0=0+1+（－1）=0.
當f（a）=f（b）=f（c）=0時，只有一個映射；
當f（a）、f（b）、f（c）中恰有一個為0，而另兩個分別為1，－1時，有C ?A =6個映射.因此所求的映射的個數為1+6=7.
評述：本題考查了映射的概念和分類討論的思想.
●思悟小結
1.本節重點內容是函數概念、定義域、值域，難點是映射及其意義.
2.理解映射的概念，應注意以下幾點：
（1）集合A、B及對應法則f是確定的，是一個系統；
（2）對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從集合B到集合A的對應關系一般是不同的；
（3）集合A中每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區別于一般對應的本質特征；
（4）集合A中不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個；
（5）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.
3.函數的定義域是構成函數的非常重要的部分，如沒有標明定義域，則認為定義域為使得函數解析式有意義的x的取值范圍，即分式中分母應不等于0；偶次根式中被開方數應為非負數；零指數冪中，底數不等于0，負分數指數冪中，底數應大于0；對數式中，真數必須大于0，底數必須大于0且不等于1……實際問題中還需考慮自變量的實際意義.若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應集合的交集.
●教師下載中心
點睛
1.復習本節時，教師應先指導學生看課本，并對課本上的重要知識點歸納總結，對課本上的典型例題、典型習題要讓學生再做，并注重一題多解、一題多變.
2.畫分段函數的圖象，求分段函數的定義域、值域是本節的一個難點.時，要指導學生按x的特點分好段，并向學生指明分段函數其實是一個函數，只是由于該函數在自變量取值的各個階段其對應關系不一樣才以分段式給出，因此它的定義域、值域應是各階段相應集合的并集.
拓展題例
【例1】設f（x）是定義在（－∞，+∞）上的函數，對一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，當－1＜x≤1時，f（x）=2x－1，求當1＜x≤3時，函數f（x）的解析式.
解：設1＜x≤3，則－1＜x－2≤1，又對任意的x，有f（x）+f（x+2）=0，∴f（x+2）=－f（x）.∴f（x－2）=－f［（x－2）+2］=－f（x）.又－1＜x－2≤1時，f（x－2）=2（x－2）－1=2x－5，∴f（x）=－f（x－2）=－2x+5（1＜x≤3）.
評述：將1＜x≤3轉化成－1＜x－2≤1，再利用已知條件是解本題的關鍵.
【例2】設m=（log2x）2+（t－2）log2x+1－t，若t在區間［－2，2］上變化時，m值恒正，求x的取值范圍.
解：由m=［log2x+（t－1）］（log2x－1）＞0，得
①或 ②
在①中，（log2x－1）+t＞0對于t∈［－2，2］恒成立時，應有log2x－1＞2，即x＞8；
在②中，（log2x－1）+t＜0對于t∈［－2，2］恒成立時，應有log2x－1＜－2，即0＜
x＜ .
綜上，得x＞8或0＜x＜ .
評述：本題還可用如下方法求解：m=（log2x－1）t+［（log2x）2－2log2x+1］關于變量t的圖象是直線，要t∈［－2，2］時m值恒正，只要t=－2和2時m的值恒正，即有
∴log2x＞3或log2x＜－1.
2016屆高考數學第一輪立體幾何專項復習：平面與平面的位置關系
1.2.4 平面與平面的位置關系
第1課時 兩平面平行的判定及性質
【課時目標】 1．理解并掌握兩個平面平行、兩個平面相交的定義．2．掌握兩個平面平行的判定和性質定理，并能運用其解決一些具體問題．
1．平面與平面平行的判定定理
如果一個平面內有________________都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．用符號表示為________________________．
2．平面與平面平行的性質定理：
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，________________________．
符號表示為：________________?a∥b．
3．面面平行的其他性質：
(1)兩平面平行，其中一個平面內的任一直線平行于________________，即α∥βa?α?
________，可用來證明線面平行；
(2)夾在兩個平行平面間的平行線段________；
(3)平行于同一平面的兩個平面________．
一、填空題
1．平面α∥平面β，a?α，b?β，則直線a、b的位置關系是__________．
2．下列各命題中假命題有________個．
①平行于同一直線的兩個平面平行；
②平行于同一平面的兩個平面平行；
③一條直線與兩個平行平面中的一個相交，那么這條直線必和另一個相交；
④若平面α內兩條直線與平面β內兩條直線分別平行，則α∥β．
3．過正方體ABCD－A1B1C1D1的三個頂點A1、C1、B的平面與底面ABCD所在平面的交線為l，則l與A1C1的位置關系是________．
4．α和β是兩個不重合的平面，在下列條件中，可判定α∥β的是________．(填序號)
①α內有無數條直線平行于β；
②α內不共線三點到β的距離相等；
③l、m是平面α內的直線，且l∥α，m∥β；
④l、m是異面直線且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．
5．已知α∥β且α與β間的距離為d，直線a與α相交于點A、與β相交于B，若AB＝233d，則直線a與α所成的角等于________．
6．如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC＝________．
7．α，β，γ為三個不重合的平面，a，b，c為三條不同的直線，則有下列命題，不正確的是________(填序號)．
①a∥cb∥c?a∥b； ②a∥γb∥γ?a∥b；
③α∥cβ∥c?α∥β； ④α∥γβ∥γ?α∥β；
⑤α∥ca∥c?α∥a; ⑥α∥γa∥γ?a∥α．
8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一點，過點P的直線m與α，β分別交于點A，C，過點P的直線n與α，β分別交于點B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長為________．
9．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M滿足________時，有MN∥平面B1BDD1．
二、解答題
10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC和SC的中點．求證：平面EFG∥平面BDD1B1．
11．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中點，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．
求證：N為AC的中點．
能力提升
12．如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，面對角線AB1，BC1上分別有兩點E、F，且B1E＝C1F．求證：EF∥平面ABCD．
13．如圖所示，B為△ACD所在平面外一點，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求證平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC．
1．判定平面與平面平行的常用方法有：(1)利用定義，證明兩個平面沒有公共點，常用反證法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的傳遞性，即α∥β，β∥γ，則α∥γ．
2．平面與平面平行主要有以下性質：(1)面面平行的性質定理．(2)兩個平面平行，其中一個平面內的任一直線平行于另一個平面．(3)夾在兩個平行平面之間的平行線段相等．
1．2．4 平面與平面的位置關系
第1課時 兩平面平行的判定及性質
答案
知識梳理
1．兩條相交直線
a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β
2．那么所得的兩條交線平行 α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b
3．(1)另一個平面 a∥β (2)相等 (3)平行
作業設計
1．平行或異面 2．2
3．平行
解析 由面面平行的性質可知第三平面與兩平行平面的交線是平行的．
4．④ 5．60°
6．4∶25
解析 面α∥面ABC，面PAB與它們的交線分別為A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝(A′B′AB)2＝(PA′PA)2＝425．
7．②③⑤⑥
解析 由公理4及平行平面的傳遞性知①④正確．舉反例知②③⑤⑥不正確．②中a，b可以相交，還可以異面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α內；⑥中a可以在α內．
8．24或245
解析 當P點在平面α和平面β之間時，由三角形相似可求得BD＝24，當平面α和平面β在點P同側時可求得BD＝245．
9．M∈線段FH
解析 ∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故線段FH上任意點M與N連結，
有MN∥平面B1BDD1．
10．
證明 如圖所示，連結SB，SD，
∵F、G分別是DC、SC的中點，
∴FG∥SD．
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴直線FG∥平面BDD1B1．
同理可證EG∥平面BDD1B1，
又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，
EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
11．證明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四邊形ANC1M為平行四邊形，
∴AN?C1M＝12A1C1＝12AC，
∴N為AC的中點．
12．證明 方法一 過E、F分別作AB、BC的垂線，EM、FN分別交AB、BC于M、N，連結MN．
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN，
∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，
∴AE＝BF，
又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
∴Rt△AME≌Rt△BNF，
∴EM＝FN．
∴四邊形MNFE是平行四邊形，
∴EF∥MN．
又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
方法二
過E作EG∥AB交BB1于G，連結GF，
∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，
∴FG∥B1C1∥BC．
又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD．
又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD．
13．(1)證明 (1)連結BM，BN，BG并延長分別交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心，
則有BMMP＝BNNF＝BGGH＝2，
且P，H，F分別為AC，CD，AD的中點．
連結PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
(2)解 由(1)可知MGPH＝BGBH＝23，
∴MG＝23PH．
又PH＝12AD，∴MG＝13AD．
同理NG＝13AC，MN＝13CD．
∴△MNG∽△ACD，其相似比為1∶3．
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．
第2課時 兩平面垂直的判定
【課時目標】 1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，會求簡單的二面角的大小．2．掌握兩個平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定兩個平面垂直．
1．二面角：一條直線和由這條直線出發的____________所組成的圖形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范圍為________________．
2．平面與平面的垂直
①定義：如果兩個平面所成的二面角是__________，就說這兩個平面互相垂直．
②面面垂直的判定定理
文字語言：如果一個平面經過另一個平面的一條______，那么這兩個平面互相垂直．符號表示：l⊥α ?α⊥β．
一、填空題
1．下列命題：
①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；
②異面直線a、b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a、b組成的角與這個二面角的平面角相等或互補；
③二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作射線所成角的最小角；
④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系．
其中正確的是________(填序號)．
2．若平面α與平面β不垂直，那么平面α內能與平面β垂直的直線有________條．
3．設有直線m、n和平面α、β，則下列結論中正確的是________(填序號)．
①若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，則α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β．
4．過兩點與一個已知平面垂直的平面有________個．
5．在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿對角線AC折起，使折起后BD＝32，則二面角B－AC－D的大小為________．
6．在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結論中成立的是________(填序號)．
①BC∥面PDF; ②DF⊥面PAE；
③面PDF⊥面ABC; ④面PAE⊥面ABC．
7．過正方形ABCD的頂點A作線段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，則平面ABP與平面CDP所成的二面角的度數是________．
8．如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，圖中互相垂直的平面有________對．
9．已知α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．
以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：____________．
二、解答題
10．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分別為CD、DA和對角線AC的中點．
求證：平面BEF⊥平面BGD．
11．如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝3．
(1)證明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
能力提升
12．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點，點D在B1C1上，A1D⊥B1C．
求證：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D、E分別在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求證：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在點E使得二面角A—DE—P為直二面角？并說明理由．
1．證明兩個平面垂直的主要途徑
(1)利用面面垂直的定義，即如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直．
(2)面面垂直的判定定理，即如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理證明面面垂直時的一般方法：先從現有的直線中尋找平面的垂線，若圖中存在這樣的直線，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應有理論依據并有利于證明，不能隨意添加．
3．證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現的，因此，在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化．每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的的．
第2課時 兩平面垂直的判定 答案
知識梳理
1．兩個半平面 這條直線 每個半平面 0°≤α≤180°
2．①直二面角 ②垂線 l?β
作業設計
1．②④
解析 ①不符合二面角定義，③從運動的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．
2．0
解析 若存在1條，則α⊥β，與已知矛盾．
3．①③
解析 ②錯，當兩平面不垂直時，在一個平面內可以找到無數條直線與兩個平面的交線垂直．
4．1或無數
解析 當兩點連線與平面垂直時，有無數個平面與已知平面垂直，當兩點連線與平面不垂直時，有且只有一個平面與已知平面垂直．
5．60°
解析
如圖所示，由二面角的定義知∠BOD即為二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝32，
∴∠BOD＝60°．
6．①②④
解析
如圖所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF．
∴①正確．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE．
∴DF⊥平面PAE．
∴②正確．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴④正確．
7．45°
解析 可將圖形補成以AB、AP為棱的正方體，不難求出二面角的大小為45°．
8．5
解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB為二面角D—PA—B的平面角，
∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，
∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，
∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④?②(或②③④?①)
10．證明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中點，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．(1)證明 如圖所示，連結BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．
因為E是CD的中點，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
又因為PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB．
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，
則∠PBA＝60°．
故二面角A—BE—P的大小是60°．
12．證明 (1)由E、F分別是A1B、A1C的中點知
EF∥BC．
因為EF?平面ABC．
BC?平面ABC．
所以EF∥平面ABC．
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1為直三棱柱知
CC1⊥平面A1B1C1．
又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．
又因為A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．(1)證明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC．
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，
BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP為二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．
∴在棱PC上存在一點E，
使得AE⊥PC．
這時∠AEP＝90°，
故存在點E，使得二面角A—DE—P為直二面角．
第3課時 兩平面垂直的性質
【課時目標】 1．理解平面與平面垂直的性質定理．2．能應用面面垂直的性質定理證明空間中線、面的垂直關系．
3．理解線線垂直、線面垂直、面面垂直的內在聯系．
1．平面與平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內________于它們________的直線垂直于另一個平面．
用符號表示為：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?________．
2．兩個重要結論：
(1)如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在________________________________________________________________________．
圖形表示為：
符號表示為：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β?________．
(2)已知平面α⊥平面β，a?α，a⊥β，那么__________(a與α的位置關系)．
一、填空題
1．平面α⊥平面β，a?α，b?β，且b∥α，a⊥b，則a和β的位置關系是________．
2．已知三條不重合的直線m、n、l，兩個不重合的平面α，β，有下列命題：
①若m∥n，n?α，則m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，則α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，則n⊥α．
其中正確的命題是________(填序號)．
3．若平面α與平面β不垂直，那么平面α內能與平面β垂直的直線有________條．
4．設α－l－β是直二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么下列說法正確的序號為________．
①a與b可能垂直，但不可能平行；
②a與b可能垂直，也可能平行；
③a與b不可能垂直，但可能平行；
④a與b不可能垂直，也不可能平行．
5．如圖，兩個正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，設M、N分別是BD和AE的中點，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE異面．
其中結論正確的是________(填序號)．
6．
如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為π4和π6．過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A′、B′，則AB∶A′B′＝________．
7．若α⊥β，α∩β＝l，點P∈α，PD/∈l，則下列命題中正確的為________．(只填序號)
①過P垂直于l的平面垂直于β；
②過P垂直于l的直線垂直于β；
③過P垂直于α的直線平行于β；
④過P垂直于β的直線在α內．
8．α、β、γ是兩兩垂直的三個平面，它們交于點O，空間一點P到α、β、γ的距離分別是2 cm、3 cm、6 cm，則點P到O的距離為________ cm．
9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在底面ABC上的射影H必在________．
二、解答題
10．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
求證：BC⊥AB．
11．如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；
(2)求證：AD⊥PB．
能力提升
12．如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E為PA的中點．求證：平面EDB⊥平面ABCD．
13．如圖所示，在多面體P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．
(1)設M是PC上的一點，
求證：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求P點到平面ABCD的距離．
1．運用兩個平面垂直的性質定理時，一般需要作輔助線，其基本作法是過其中一個平面內一點在此平面內作交線的垂線，這樣，就把面面垂直轉化為線面垂直或線線垂直．
2．無論從判定還是從性質來看，線線垂直、線面垂直和面面垂直都是密切相關的，面對復雜的空間圖形，要善于發現它們之間的內在聯系，找出解決問題的切入點，垂直關系的轉化為：
第3課時 兩平面垂直的性質 答案
知識梳理
1．垂直 交線 a⊥β
2．(1)第一個平面內 a?α (2)a∥α
作業設計
1．a⊥β
2．②④
3．0
解析 若存在1條，則α⊥β，與已知矛盾．
4．③
5．①②③
6．2∶1
解析 如圖：
由已知得AA′⊥面β，
∠ABA′＝π6，
BB′⊥面α，∠BAB′＝π4，
設AB＝a，則BA′＝32a，BB′＝22a，
在Rt△BA′B′中，A′B′＝12a，∴ABA′B′＝21．
7．①③④
解析 由性質定理知②錯誤．
8．7
解析 P到O的距離恰好為以2 cm,3 cm,6 cm為長、寬、高的長方體的對角線的長．
9．直線AB上
解析 由AC⊥BC1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，
∴面ABC1⊥面ABC．
∴C1在面ABC上的射影H必在交線AB上．
10．證明 在平面PAB內，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB．
11．證明
(1)連結PG，由題知△PAD為正三角形，G是AD的中點，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG．
又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．
12．
證明 設AC∩BD＝O，
連結EO，
則EO∥PC．∵PC＝CD＝a，
PD＝2a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD為交線，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD．
13．(1)證明 在△ABD中，
∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，
∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．
又∵面PAD⊥面ABCD，
面PAD∩面ABCD＝AD，
BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，
∴面MBD⊥面PAD．
(2)解
過P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO為四棱錐P—ABCD的高．
又△PAD是邊長為4的等邊三角形，∴PO＝23．
2016屆高考數學知識立體幾何初步復習講義
高中數學復習講義 第七章 立體幾何初步
【知識圖解】
【方法點撥】
立體幾何研究的是現實空間，認識空間圖形，可以培養學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力。空間的元素是點、線、面、體，對于線線、線面、面面的位置關系著重研究它們之間的平行與垂直關系，幾何體著重研究棱柱、棱錐和球。在復習時我們要以下幾點：
1．注意提高空間想象能力。在復習過程中要注意：將文字語言轉化為圖形，并明確已知元素之間的位置關系及度量關系；借助圖形來反映并思考未知的空間形狀與位置關系；能從復雜圖形中邏輯的分析出基本圖形和位置關系，并借助直觀感覺展開聯想與猜想，進行推理與計算。
2．歸納總結，分門別類。從知識上可以分為：平面的基本性質、線線、線面、面面的平行與垂直、空間中角與距離的計算。
3．抓主線，攻重點。針對一些重點內容加以訓練，平行和垂直是位置關系的核心，而線面垂直又是核心的核心，角與距離的計算已經降低要求。
4．復習中要加強數學思想方法的總結與提煉。立體幾何中蘊含著豐富的思想方法，如：將空間問題轉化成平面圖形來解決、線線、線面與面面關系的相互轉化、空間位置關系的判斷及角與距離的求解轉化成空間向量的運算。
第1課 空間幾何體
【考點導讀】
1．觀察認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構；
2．能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖；
3．通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；
4.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式。
【基礎練習】
1．一個凸多面體有8個頂點，①如果它是棱錐，那么它有 14 條棱， 8 個面；②如果它是棱柱，那么它有 12 條棱 6 個面。
2.（1）如圖，在正四面體A－BCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則△EFG在該正四面體各個面上的射影所有可能的序號是 ③④ 。
（2）如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖的 ②③ （要求：把可能的圖的序號都填上）.
【范例導析】
例1．下列命題中，假命題是 （1）（3） 。（選出所有可能的答案）
（1）有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱
（2）四棱錐的四個側面都可以是直角三角形
（3）有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
（4）若一個幾何體的三視圖都是矩形，則這個幾何體是長方體
分析：準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結構特征是解決概念題的關鍵。
（1）中將兩個斜棱柱對接在一起就是反例。（3）中是不是棱臺還要看側棱的延長線是否交于一點。
例2． 是正△ABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若 的面積為 ，那么△ABC的面積為_______________。
解析： 。
點評：該題屬于斜二測畫法的應用，解題的關鍵在于建立實物圖元素與直觀圖元素之間的對應關系。特別底和高的對應關系。
例3．（1）畫出下列幾何體的三視圖
（2）某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀
分析：三視圖是從三個不同的方向看同一物體得到的三個視圖。
解析：（1）這兩個幾何體的三視圖分別如下：
（2）該幾何體為一個正四棱錐。
點評：畫三視圖之前，應把幾何體的結構弄清楚，選擇一個合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應符合三條投射規律。主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現物體的長和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據此就不難得出該幾何體的形狀。
【反饋演練】
1．一個圓柱的側面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是 。
2．如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則 = 。
解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR2?r。恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有 πr3=πR2r。故 。答案為 。
點評：本題主要考查旋轉體的基礎知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。
3．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如圖所示），若將△ABC繞直線BC旋轉一周，則所形成的旋轉體的體積是 。
4．空間四邊形 中， ， ， 分別是 邊上的點，且 為平行四邊形，則四邊形 的周長的取值范圍是_ _。
5．三棱錐 中， ，其余棱長均為1。
（1）求證： ；
（2）求三棱錐 的體積的最大值。
解：（1）取 中點 ，∵ 與 均為正三角形，
∴ 平面 。
(2)當 平面 時，三棱錐的高為 ，
此時
6．已知圓錐的側面展開圖是一個半圓，它被過底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側面的交線是焦參數（焦點到準線的距離）為p的拋物線.
（1）求圓錐的母線與底面所成的角；
（2）求圓錐的全面積．
解: （1）設圓錐的底面半徑為R，母線長為l，
由題意得： ,
即 ,
所以母線和底面所成的角為
(2)設截面與圓錐側面的交線為MON，
其中O為截面與AC的交點，則OO1//AB且
在截面MON內，以OO1所在有向直線為y軸，O為原點，建立坐標系，
則O為拋物線的頂點，所以拋物線方程為x2=－2py，
點N的坐標為（R，－R），代入方程得：R2=－2p（－R），
得：R=2p，l=2R=4p.
∴圓錐的全面積為 .
說明：將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預示了高考命題的新動向.
第2課 平面的性質與直線的位置關系
【考點導讀】
1．掌握平面的基本性質，能夠畫出空間兩條直線的各種位置關系，能夠根據圖形想象它們之間的位置關系。
2．掌握兩條直線之間的平行與垂直的有關問題，并能進行解決和證明相關問題。
3．理解反證法證明的思路，會用反證法進行相關問題的證明。
【基礎練習】
1 下面是一些命題的敘述語,其中命題和敘述方法都正確的是 （3） 。
（1）∵ ，∴ ． （2）∵ ，∴ ．
（3）∵ ，∴ ． （4）∵ ，∴ ．
2．下列推斷中，錯誤的是 （4） 。
（1）
（2） ，A,B,C不共線 重合
（3）
（4）
3．判斷下列命題的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空間三點可以確定一個平面 （ ）
（2）兩個平面若有不同的三個公共點，則兩個平面重合（ ）
（3）兩條直線可以確定一個平面（ ）
（4）若四點不共面，那么每三個點一定不共線（ ）
（5）兩條相交直線可以確定一個平面（ ）
（6）三條平行直線可以確定三個平面（ ）
（7）一條直線和一個點可以確定一個平面（ ）
（8）兩兩相交的三條直線確定一個平面（ ）
4．如右圖，點E是正方體 的棱 的中點，則過點E與直線 和 都相交的直線的條數是： 1 條
5．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點P，Aa，Da，Bb，Ec
求證：BD和AE是異面直線
證明：假設__ 共面于g，則點A、E、B、D都在平面_ _內
QAa，Da，∴__γ. QPa，∴P__.
QPb，Bb，Pc，Ec ∴_ _g， __g，這與____矛盾
∴BD、AE__________
答案：假設BD、AE共面于g，則點A、E、B、D都在平面 g 內。
∵Aa，Da，∴ a g. ∵Pa，P g .
∵Pb，Bb，Pc，Ec. ∴ b g，c g，這與a、b、c不共面矛盾
∴BD、AE是異面直線
【范例導析】
例1．已知 ，從平面 外一點 引向量
（1）求證：四點 共面；（2）平面 平面 ．
分析 ：證明四點共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理證明，
也可以轉化為直線共面的條件即幾何證法。
解：法一：（1）∵四邊形 是平行四邊形，∴ ，
∴ 共面；
（2）∵ ，又∵ ，
所以，平面 平面 ．
法二：（1）
∴ 同理 又 ∴
∴ 共面；
（2）由（1）知： ，從而可證
同理可證 ，所以，平面 平面 ．
點評：熟練掌握定理是證明的關鍵，要學會靈活運用。
例2．已知空間四邊形ABCD.
(1)求證：對角線AC與BD是異面直線;
(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點,試判斷四邊形EFGH的形狀;
(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.
分析：證明兩條直線異面通常采用反證法。
證明：(1)（反證法）假設AC與BD不是異面直線，則AC與BD共面，
所以A、B、C、D四點共面
這與空間四邊形ABCD的定義矛盾
所以對角線AC與BD是異面直線
(2)解：∵E,F分別為AB,BC的中點,∴EF//AC,且EF= AC.
同理HG//AC,且HG= AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.
又∵F,G分別為BC,CD的中點,∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中點E,AC中點F,連EF,則EF即為所求.
點評：在空間四邊形中我們通常會遇到上述類似的問題，取中點往往是很有效的方法，特別是遇到等腰三角形的時候。
例3．如圖，已知E，F分別是正方體 的棱 和棱 上的點，且 ，求證：四邊形 是平行四邊形
簡證：由 可以證得 ≌
所以 又可以由正方體的性質證明
所以四邊形 是平行四邊形
例4：如圖，已知平面 ，且 是垂足．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，試判斷平面 與平面 的位置關系，并證明你的結論．
解：（Ⅰ）因為 ，所以 ．
同理 ．
又 ，故 平面 ．
（Ⅱ）平面 平面 。證明如下：設 與平面 的交點為 ，
連結 、 ．因為 平面 ，所以 ，
所以 是二面角 的平面角．
又 ，所以 ，即 ．
在平面四邊形 中， ，
所以 ．故平面 平面 ．
【反饋演練】
1．判斷題（對的打“√”，錯的打“×”）
（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（ ）
（2）兩線段AB、CD不在同一平面內，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（ ）
（3）在正方體中，相鄰兩側面的一對異面的對角線所成的角為60（ ）
（4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直（ ）
答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
2．定點P不在△ABC所在平面內，過P作平面α，使△ABC的三個頂點到α的距離相等，這樣的平面共有 4 個。
3．給出以下四個命題：（1）若空間四點不共面，則其中無三點共線；（2）若直線上有一點在平面外，則該直線在平面外；（3）若直線a,b,c中，a與b共面且b與c共面，則a與c共面；（4）兩兩相交的三條直線共面。其中所有正確命題的序號是 (1)(2) 。
4．如圖，已知 （A,B不重合）
過A在平面α內作直線AC，過B在平面β內作直線BD。
求證：AC和BD是異面直線。
證明：（反證法）若AC和BD不是異面直線，
設確定平面γ，則由題意可知：平面α和γ都過AC和AC外一點B，所以兩平面重合。
同理可證平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。
這與已知條件平面α和β相交矛盾。
所以AC和BD是異面直線。
第3課 空間中的平行關系
【考點導讀】
1．掌握直線和平面平行、兩個平面平行的判定定理和性質定理。
2．明確定義與定理的不同，定義是可逆的，既是判定也是性質，而判定定理與性質定理多是不可逆的。
3．要能靈活的對“線線平行”、“線面平行”和“面面平行”進行轉化。
【基礎練習】
1．若 為異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關系是 異面或相交。
2．給出下列四個命題:
①垂直于同一直線的兩條直線互相平行. ②垂直于同一平面的兩個平面互相平行.
③若直線 與同一平面所成的角相等,則 互相平行.
④若直線 是異面直線,則與 都相交的兩條直線是異面直線.
其中假命題的個數是 4 個。
3．對于任意的直線l與平面a,在平面a內必有直線m,使m與l 垂直 。
4. 已知a、b、c是三條不重合的直線，α、β、r是三個不重合的平面，下面六個命題：
①a∥c，b∥c a∥b；②a∥r，b∥r a∥b；③α∥c，β∥c α∥β；
④α∥r，β∥r α∥β；⑤a∥c，α∥c a∥α；⑥a∥r，α∥r a∥α．
其中正確的命題是 ①④ 。
【范例導析】
例1．如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH是平行四邊形．
求證：AB∥平面EFG．
證明 ：∵面EFGH是截面．
∴點E，F，G，H分別在BC，BD，DA，AC上．
∴EH 面ABC，GF 面ABD，
由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．
又 ∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB
∴EH∥AB．
∴AB∥面EFG．
例2． 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，并且CM=DN.
求證:MN∥平面AA1B1B.
分析：“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”是可以互相轉化的。本題可以采用任何一種轉化方式。
簡證：法1：把證“線面平行”轉化為證“線線平行”。
即在平面ABB1A1內找一條直線與MN平行，如圖所示作平行線即可。
法2：把證“線面平行”轉化為證“線線平行”。連CN并延長交直線BA于點P，
連B1P，就是所找直線，然后再設法證明MN∥B1P.
法3：把證“線面平行”轉化為證“面面平行”。
過M作MQ//BB1交BC于B1，連NQ,則平面MNQ與平面ABB1A1平行，
從而證得MN∥平面ABB1A1.
點評：證明線面或面面平行的時候一定要注意相互的轉化，非常靈活。
【反饋演練】
1．對于平面 和共面的直線 、 下列命題中真命題是（3）。
（1）若 則 （2）若 則
（3）若 則 （4）若 、 與 所成的角相等，則
2. 設a、b是兩條異面直線，那么下列四個命題中的假命題是 （2） 。
（1）經過直線a有且只有一個平面平行于直線b
（2）經過直線a有且只有一個平面垂直于直線b
（3）存在分別經過直線a和b的兩個互相平行的平面
（4）存在分別經過直線a和b的兩個互相垂直的平面
3．關于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是（4） 。
（1）若a∥M，b∥M，則a∥b （2）若a∥M，b⊥a，則b⊥M
（3）若a M，b M，且l⊥a，l⊥b，則l⊥M （4）若a⊥M，a∥N，則M⊥N
4．“任意的 ，均有 ”是“任意 ，均有 ”的 充要條件 。
5.在正方體AC1中，過A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD .
6．在長方體ABCD—A1B1C1D1中，經過其對角線BD1的平面分別與棱AA1,CC1相交于E,F兩點，則四邊形EBFD!的形狀為 平行四邊形 。
7. 已知Ｐ為平行四邊形ＡＢＣＤ所在平面外一點，Ｍ為ＰＢ的中點，
求證：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
證明 連ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，連ＭＯ，
則ＭＯ為△ＰＢＤ的中位線，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ 平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，
∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
8．如圖，已知 是平行四邊形 所在平面外一點， 、 分別是 、 的中點 （1）求證： 平面 ；（2）若 ， ， 求異面直線 與 所成的角的大小
略證：（1）取PD的中點H，連接AH，
為平行四邊形
(2): 連接AC并取其中點為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以 就是異面直線 與 所成的角，由 ， 得，OM=2，ON=
所以 ，即異面直線 與 成 的角
9．兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE。
證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，
則MP∥AB，NQ∥AB。
∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，
∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形
∴MN∥PQ
∵PQ 平面BCE，MN在平面BCE外，
∴MN∥平面BCE。
證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，
連結NH，由BF=AC，FN=AM，得
∴ NH//AF//BE
由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE
∴MN∥平面BCE 。
第4課 空間中的垂直關系
【考點導讀】
1．掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理，并能用它們證明和解決有關問題。
2．線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關系，學會互相轉化，善于利用轉化思想。
【基礎練習】
1．“直線 垂直于平面 內的無數條直線”是“ ”的 必要 條件。
2．如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的位置關系是 平行或相交 。
3．在正方體中，與正方體的一條對角線垂直的面對角線的條數是 6 。
4．兩個平面互相垂直，一條直線和其中一個平面平行，則這條直線和另一個平面的位置關系是平行、相交或在另一個平面內 。
5．在正方體 中，寫出過頂點A的一個平面__AB1D1_____，使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認為正確的一個平面即可，不必考慮所有可能的情況)。
【范例導析】
例1．如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.
（1）證明PA//平面EDB； （2）證明PB⊥平面EFD.
解析：本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直基礎知識,考查空間想象能力和推理論證能力.
證明：（1）連結AC,AC交BD于O,連結EO.
∵底面ABCD是正方形,∴點O是AC的中點
在 中,EO是中位線,∴PA // EO
而 平面EDB且 平面EDB,
所以,PA // 平面EDB
（2）∵PD⊥底面ABCD且 底面ABCD,∴
∵PD=DC,可知 是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線,
同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.
而 平面PDC,∴ . ②
由①和②推得 平面PBC. 而 平面PBC,∴
又 且 ,所以PB⊥平面EFD.
例2．如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中點，
求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；
（3）平面DEA ⊥平面ECA。
分析：（1）證明DE ＝DA ，可以通過圖形分割，證明△DEF ≌△DBA。（2）證明面面垂直的關鍵在于尋找平面內一直線垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中點N ，連結MN 、NB ，易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM ⊥平面ECA。
證明：（1）如圖，取EC 中點F ，連結DF。
∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。
∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。
∵ BD ∥CE ，BD ＝ CE ＝FC ，
則四邊形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。
又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。
（2）取AC 中點N ，連結MN 、NB ，
∵ M 是EA 的中點，∴ MN EC。
由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。
∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中點，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，
∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA ⊥平面BDM。
（3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，
∴ 平面DEA ⊥平面ECA。
點評：面面垂直的問題常常轉化為線面垂直、線線垂直的問題解決。
例3．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，
∠ACB ＝90°，AA1 ＝ ，D 是A1B1 中點．
（1）求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當點F 在BB1 上什么位置時，
會使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結論。
分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要過D 作AB1 的垂線，它與BB1 的交點即為所求的F 點位置。
證明：（1）如圖，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。又 D 是A1B1 的中點，
∴ C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。
（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延長DE 交BB1 于F ，連結C1F ，則AB1 ⊥平面C1DF ，點F 即為所求。
∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，∴ AB1 ⊥平面C1DF 。
點評：本題（1）的證明中，證得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題。
【反饋演練】
1．下列命題中錯誤的是（3） 。
（1）若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內所有直線
（2）若一平面經過另一平面的垂線，則兩個平面互相垂直
（3）若一條直線垂直于平面內的一條直線，則此直線垂直于這一平面
（4）若平面內的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直
2．設 是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內，下列條件中能保證“若
，且 ”為真命題的是 ①③④ （填所有正確條件的代號）
①x為直線，y，z為平面②x，y，z為平面
③x，y為直線，z為平面④x，y為平面，z為直線
⑤x，y，z為直線
3．在三棱錐的四個面中，直角三角形最多可以有___4__個。
4．若 的中點 到平面 的距離為 ，點 到平面 的距離為 ，則點 到平面 的距離為_2或14________ 。
5．命題A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。
命題A的等價命題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。
答案：側棱相等（或側棱與底面所成角相等……）
6．α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個論斷：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題： 。
答案：m⊥α，n⊥β，α⊥β m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β α⊥β
7．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D= ，在線段SA上取一點E（不含端點）使EC=AC，截面CDE與SB交于點F。
（1）求證：四邊形EFCD為直角梯形；
（2）設SB的中點為M，當 的值是多少時，能使△DMC為直角三角形？請給出證明.
解：（1）∵ CD∥AB，AB 平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵
又 面
∴ 平面SAD，∴ 又
為直角梯形
(2)當 時， 為直角三角形 .
平面 平面 .
在 中， 為SB中點， .
2016屆高考數學考點函數模型及其應用提綱專項復習教案
2011-2012學年高三數學復習導學案
13.函數模型及其應用
考綱要求：
一、自主梳理
1、三種增長型函數模型的圖象與性質
2、常見的幾種函數模型
二、點擊高考
1、 [2011湖北卷] 放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現象稱為衰變．假設在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量(單位：太貝克)與時間t(單位：年)滿足函數關系：(t)＝02－t30，其中0為t＝0時銫137的含量．已知t＝30時，銫137含量的變化率是－10ln2(太貝克/年)，則(60)＝( )
A．5太貝克 B．75ln2太貝克 C．150ln2太貝克 D．150太貝克
2、 [2011湖北卷] 里氏震級的計算公式為：＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅，假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，
3、 [2011北京卷] 某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為800元，若每批生產x，則平均倉儲時間為x8天，且每產品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品( )
A．60 B．80 C．100 D．120
4、[2011福建卷] 某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
三、堂導學
例1、[2011湖北卷] 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
(1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式；
(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)f(x)＝xv(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)
例2、請你設計一個包裝盒，如圖1－4所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A、B、C、D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點．設AE＝FB＝x(cm)．
(1)某廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？
(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．
四、總結
（1）求解函數應用問題的基本步驟
（2）求解函數應用問題注意事項
2016屆高考數學知識函數的奇偶性歸納復習教案
一．知識點
1．定義: 設y=f(x)，定義域為A，如果對于任意 ∈A，都有 ，稱y=f(x)為偶函數。
設y=f(x) ，定義域為A，如果對于任意 ∈A，都有 ，稱y=f(x)為奇函數。
如果函數 是奇函數或偶函數，則稱函數y= 具有奇偶性。
2.性質：
①函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱，
②y=f(x)是偶函數 y=f(x)的圖象關于 軸對稱,
y=f(x)是奇函數 y=f(x)的圖象關于原點對稱,
③偶函數在定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反，
奇函數在定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相同，
④若函數f(x)的定義域關于原點對稱，則它可表示為一個奇函數與一個偶函數之和
⑤奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
[兩函數的定義域D1 ，D2，D1∩D2要關于原點對稱]
⑥對于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函數，則F(x)是偶函數
若g(x)是奇函數且f(x)是奇函數，則F(x)是奇函數
若g(x)是奇函數且f(x)是偶函數，則F(x)是偶函數
3．函數奇偶性的判斷
①看定義域是否關于原點對稱 ；②看f(x)與f(-x)的關系；
二．例題選講
例1．判斷下列函數的奇偶性
(1) ； (2) ;
(3) ; (4)
解：（1）定義域為 ，對稱于原點，又
， 為奇函數
（2）由 得定義域為 ，關于原點不對稱，所以 沒有奇、偶性。
（3）由 且 得定義域為 ，對稱于原點
，得 ，知 是奇函數
（4）定義域為 ，對稱于原點，
當 時， ，所以
當 時， ，所以 ，故 是奇函數
例2．已知g(x)為奇函數， ，且f(-3)= ，求f(3)；
解： ，
，將兩式相加，結合g(x)為奇函數，可得：
變式：已知函數f(x)，當x<0時，f(x)=x2+2x-1
① 若f(x)為R上的奇函數，能否確定其解析式？請說明理由。
② 若f(x)為R上的偶函數，能否確定其解析式？請說明理由。
解：① 可確定: ②不可確定: 處沒有定義；
例3．函數 的定義域為D= ，且對于任意的 ，都有
；（1）求 的值； （2）判斷 的奇偶性并證明；
（3）如果 ， ，且 在 上是增函數，求 的取值范圍。
解：（1）令 可得：
（2）令 可得： ；再令 可得： ；
所以： 為偶函數
（3） ，
原不等式可化為：
又 在 上是增函數
解得： 或 或
變式一：定義在實數集上的函數f(x)，對任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)?f(y)且
f(0)≠0 ；①求證：f(0)=1 ；②求證：y=f(x)是偶函數；
證：①令x=y=0，則f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1；
②令x=0，則f(y)+f(-y)=2f(0)?f(y)；∴f(-y)=f(y) ； ∴y=f(x)是偶函數；
變式二：設函數 是奇函數，且當 時是增函數，若f(1)=0，求不等式 的解集；
解：由 可得： ，
由前一不等式可解得； ；
由后一不等式可解得： ，
故原不等式的解集為：
例4．已知函數 是奇函數，（1）求m的值；（2）當 時，求 的最大值與最小值。
解：（1）因為 是奇函數，所以 ，即 ，得m=0
(2) 因為 ， ①當p<0時， ，所以 在 上是增函數，
②當p>0時，知 在 上是減函數，在 上是增函數；
（A）當 時， 在 上是增函數，
（B）當 時， 是 在 上的一個極小值點，且
（C）當 時， 是 在 上的一個極小值點，且f(1)<f(2)，
（D）當 時， 在 上是減函數，
2016屆高考數學知識要點導數的概念及運算復習教案
導數的概念及運算
一．復習目標：
理解導數的概念和導數的幾何意義，會求簡單的函數的導數和曲線在一點處的切線方程．
二．知識要點：
1．導數的概念： ；
2．求導數的步驟是
3．導數的幾何意義是 ．
三．前預習：
1．函數 的導數是 （ ）
2．已知函數 的解析式可 （ ）
3．曲線 上兩點 ，若曲線上一點 處的切線恰好平行于弦 ，則點 的坐標為 （ ）
4．若函數 的圖象的頂點在第四象限，則函數 的圖象是（ ）
5．已知曲線 在 處的切線的傾斜角為 ，則 ， ．
6．曲線 與 在交點處的切線的夾角是 ．
四．例題分析：
例1．（1）設函數 ，求 ；
（2）設函數 ，若 ，求 的值．
（3）設函數 ，求 ．
解：（1） ，∴
（2）∵ ，∴
由 得： ，解得： 或
（3）
例2．物體在地球上作自由落體運動時，下落距離 其中 為經歷的時間， ，若 ，則下列說法正確的是（ ）
（A）0～1s時間段內的速率為
（B）在1～1+△ts時間段內的速率為
（C）在1s末的速率為
（D）若△t＞0，則 是1～1+△ts時段的速率；
若△t＜0，則 是1+△ts～1時段的速率．
小結：本例旨在強化對導數意義的理解， 中的△t可正可負
例3．（1）曲線 ： 在 點處的切線為 在 點處的切線為 ，求曲線 的方程；
（2）求曲線 的過點 的切線方程．
解：（1）已知兩點均在曲線C上. ∴
∴ ， 可求出
∴曲線 ：
（2）設切點為 ，則斜率 ，過切點的切線方程為：
，∵過點 ，∴
解得： 或 ，當 時，切點為 ，切線方程為：
當 時，切點為 ，切線方程為：
例4．設函數 (1)證明：當 且 時， ；
(2)點 （0<x0<1）在曲線 上，求曲線上在點 處的切線與 軸， 軸正向所圍成的三角形面積的表達式．（用 表示）
解：（1）∵ ，∴ ，兩邊平方得：
即： ，∵ ，∴ ，∴
（2）當 時， ，
曲線 在點 處的切線方程為： ，即：
∴切線與與 軸， 軸正向的交點為
∴所求三角形的面積為
例5．求函數 圖象上的點到直線 的距離的最小值及相應點的坐標.
解：首先由 得 知，兩曲線無交點.
，要與已知直線平行，須 ，
故切點：（0 , －2）. .
五．后作業： 班級 學號 姓名
1．曲線 在點 處的切線方程為（）
2．已知質點運動的方程為 ，則該質點在 時的瞬時速度為 （ ）
120 80 50
3．設點 是曲線 上的任意一點，點 處切線的傾斜角為 ，則角 的取值范圍是 （ ）
4．若 ，則
5．設函數 的導數為 ，且 ，則
已知曲線
（1）求曲線 在點 處的切線方程；（2）求過點 并與曲線 相切的直線方程．
7.設曲線 ： ， 在哪一點處的切線斜率最小？設此點為
求證：曲線 關于 點中心對稱.
8.已知函數 . 若 ，且 ， ，求 ．
9..曲線 上有一點 ，它的坐標均為整數，且過 點的切線斜率為正數，求此點坐標及相應的切線方程.
10.已知函數 的圖像過點 .過 點的切線與圖象僅 點一個公共點，又知切線斜率的最小值為2，求 的解析式.
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