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高數(shù)上期末考試題
一、 填空題（每小題3分，本題共15分）
1、. ______) 31(lim 2 0=+→x x x 。
2、當(dāng)k >+≤=0
0e 2x k x x x f x 在0=x 處連續(xù)．
3、設(shè)x x y ln +=, 則______=dy
4、曲線x e y x -=在點(diǎn)（0，1）處的切線方程是
5、若+=C x dx x f 2sin ， C 為常數(shù)，則=x f 。
二、 單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）
1、若函數(shù)x x
x f =) (，則=→) (lim 0
x f x （ ） A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在
2、下列變量中，是無窮小量的為（ ）
A. 0(1ln +→x x)
B. 1(ln →x x
C. 0(cosx →x )
D. 2(4)
22→--x x x 3、滿足方程0) (='x f 的x 是函數(shù)) (x f y =的（ ）．
A．極大值點(diǎn) B．極小值點(diǎn) C．駐點(diǎn) D．間斷點(diǎn)
4、下列無窮積分收斂的是（ ）
A 、+∞ 0sin xdx B 、dx e x +∞-02 C 、x +∞01 D 、x +∞01
5、設(shè)空間三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M
（1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。
則AMB ∠
A 、3π B 、4π C 、2π D 、π
三、 計(jì)算題（每小題7分，本題共56分）
1、求極限 x
x x 2sin 24lim 0-+→ 。
2、求極限 ) 1
11(lim 0--→x x e x
3、求極限 2cos 102lim x dt
e x t x -→
4、設(shè)) ln(25x x e y +++=，求y '
5、設(shè)) (x y f =由已知=+=t
y t x arctan ) 1ln(2，求22dx y d 6、求不定積分 dx x x +) 32sin(12 7、求不定積分 x x e x d c o s
8、設(shè)≥+<+=011 (x x x e x f x， 求 -20d ) 1(x x f）
四、 應(yīng)用題（本題7分）
求曲線2x y =與2y x =所圍成圖形的面積A 以及A 饒y 軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。
五、 證明題（本題7分）
若) (x f 在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且0) 1() 0(==f f ，1) 2
1(=f ，證明：
在(0,1)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使1) (='ξf ）
參考答案
一。填空題（每小題3分，本題共15分）
1、6e
2、k =1
3、x
x +1
4、1=y
5、x x f 2cos 2)
二．單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）
1、D 2、B 3、C 4、B 5、A
三．計(jì)算題（本題共56分，每小題7分）
1. 解：x x x 2sin 24lim 0-+→8
1) 24(2sin 2lim 21) 24(2sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 7分
2. 解 ：21lim 11lim ) 1(1lim ) 111(lim 0000=++=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x xe
e e e xe e e e x x e e x 7分
3、解： 2cos 102lim x dt
e x
t x -→e
x xe x x 212sin lim 2cos 0-=-=-→
4、解： ) 11(1
22x x
x y ++++='……………………… …...4分 21
x += ……………………………………… …...7分
5、t
t t dx dy 21121
2
2=+= （4分） 22
22321
12() 241d y t d dy t t dt dx dx t t
-+===-+ （7分）
6、解：
C x
d x dx x x ++=++-=+) 32cos(21) 332() 32sin(21) 32sin(12 （7分）
7、 解：
=x x e x x x e d cos d cos
4 +=sinxdx e cos x x e x
+=x de sin cos x x e x
dx cos sin cos x e x e x e x x x -+=
C x x e x ++=) cos (sin
8、解：--+==-011
112
0d ) (d ) (d ) (d ) 1(x x f x x f x x f x x f +++=-10011d 1d x x e x x 1001) 1l n (d ) 11(x x e e x x +++-=- 2ln ) 1ln(10 1++-=-x e) 1ln() 1ln(11e e +=++=-
四． 應(yīng)用題（本題7分）
解：曲線2x y =與2y x =的交點(diǎn)為（1，1）， 于是曲線2x y =與2
y x =所圍成圖形的面積A 為 31]3132[) (1021023
2=-=-=x x dx x x A A 繞y 軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的`旋轉(zhuǎn)體的體積為：
()πππ10352) (1
0521042=-=-=y y dy y y V
五、證明題（本題7分）
證明： 設(shè)x x f x F -=) (x F 在]1, 21[上連續(xù)，在) 1, 21(內(nèi)可導(dǎo)，且 021) 21(>= F ，01) 1(<-=F .
5 零點(diǎn)定理知存在]1, 2
1[1∈x ，使0) (1=x F . 4分 由0) 0(=F ，在], 0[1x 上應(yīng)用羅爾定理知，至少存在一點(diǎn) ) 1, 0() , 0(1∈x ξ使01) () (=-'='ξξf F ，即1)
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